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七夕祭

题目大意

给一个n * m矩阵，有一些位置是1，其他是0。

每次操作可以交换相邻的两个数，特别的，每行/每列的第一个数和最后一个数视为相邻。

希望可以实现两个目标：1.每一行1一样多；2.每一列的1一样多

问最多可以实现几个目标，并求出对应的最少操作次数。

解题思路

如果1的总数是列的倍数，显然任务2可以实现，方法如下：

首先把图拍扁成一行。

按照均分纸牌的做法，可以把每个数减去平均数，如果小于0就从后面要，大于0就扔给后面。

这样答案为\(|a_1| + |a_1 + a_2| + |a_1 + ...+a_{n-1}|\)

题目中实际为环状结构，答案也可能是\(|a_2| + |a_2 + a_3| + |a_2 + ...+a_{n}|\)等

记前缀和为\(s_i\)，则答案为$\min \limits_{1\le k\le n}\sum \limits_{i=1}^{n} |s_i-s_k| $

这个和式的最小值显然将\(s\)排序后在\(k=\frac{n+1}{2}\)时取到，因此答案为$\sum\limits_{i=1}^{n} |s_i-s_{\frac{n+1}{2}}| $

任务1也是同理的。我们还发现，完成其中一个任务的时候对另一个任务是没有影响的，可以分开算，这样这道题就解决了。

代码实现

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// Created by vv123 on 2022/6/24.
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, t, tot, a[N], b[N], s[N];
LL solve(int a[], int n) {
    int avg = tot / n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] -= avg;
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    sort(s + 1, s + 1 + n);
    int smid = s[n + 1 >> 1];
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        res += abs(s[i] - smid);
    return res;
}
int main() {
    cin >> n >> m >> t;
    while (t--) {
        int p, q;
        cin >> p >> q;
        a[p]++; b[q]++; tot++;
    }
    if (tot % n == 0 && tot % m == 0) {
        printf("both %lld\n", solve(a, n) + solve(b, m));
    } else if (tot % n == 0) {
        printf("row %lld\n", solve(a, n));
    } else if (tot % m == 0) {
        printf("column %lld\n", solve(b, m));
    } else printf("impossible\n");
    return 0;
}

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来源： https://www.cnblogs.com/vv123/p/16409061.html

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