首页 > 其他分享> 文章详细

AcWing 1319. 移棋子游戏

2022-06-24 08:33:13 阅读：154 来源： 互联网

标签：函数 int 1319 异或棋子 SG mex AcWing

题目传送门

一、\(SG\) 函数

首先定义 \(mex\) 函数，这是施加于一个集合的函数，返回最小的不属于这个集合的非负整数

例：\(mex({1,2})=0,mex({0,1})=2,mex({0,1,2,4})=3\)

在一张有向无环图中，对于每个点 \(u\)，设其所有能到的点的 \(SG\) 函数值集合为集合 \(A\)，那么 \(u\) 的 \(SG\) 函数值为 \(mex(A)\)，记做 \(SG(u)=mex(A)\)
例图：

例图解释：
\(SG(5)=mex({∅})=0\)
\(SG(3)=mex({SG(5)})=mex({0})=1\)
\(SG(4)=mex({SG(5),SG(3)})=mex({0,1})=2\)
\(SG(2)=mex({SG(3)}=mex({1})=0\)
\(SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1\)

二、本题思路

那么 \(SG\) 函数的定义说完了，这题和 \(SG\) 函数又有什么关系呢？
下面先说本题做法，再证明该方法正确性。

做法：求出每个棋子所在的点的 \(SG\) 函数值，将所有值异或起来。若异或值不为 \(0\)，则输出\(win\)，否则输出\(lose\)

证明：
首先，由于这是一张有向无环图，所以游戏最后一定会结束，也就是说每个棋子最后都会移动到一个点上，且该点没有任何能到达的点。

那么根据定义，结束状态的所有点的 \(SG\) 函数值异或起来为 \(0\)，做法对于结束状态可行。

所以接下来，只要证明出

证明I：任何一种每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值异或起来非 \(0\) 的情况，一定能通过一次移动棋子，到达一个每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值异或起来为 \(0\) 的情况

证明II：任何一种每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值异或起来为 \(0\) 的情况，一定不能通过一次移动棋子，到达一个每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值异或起来为 \(0\) 的情况

那么做法就是对的

证明I：

设每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值分别为 \(a_1,a_2,⋯,a_n\)

设 \(x=a_1 ∧ a_2 ∧ ⋯ ∧ a_n\)，设 \(x\) 的最高位为第 \(k\) 位，那么在 \(a_1,a_2,⋯,a_n\) 中，一定有一个值\(a_i\)的第 \(k\) 位为 \(1\)

由于 \(x\) 的第 \(k\) 位和 \(a_i\) 的第 \(k\) 位都是 \(1\)，且第 \(k\) 位是 \(x\) 的最高位，所以 \(a_i ∧ x\) 一定小于 \(a_i\)

又因为 \(a_i\) 是其中一个棋子所在点的 \(SG\) 函数值，那么根据 \(SG\) 函数值的定义，该点能到达的所有点中，一定存在一个点的 \(SG\) 函数值为 \(a_i ∧ x\)

那么我们就可以将该点上的棋子，移到一个 \(SG\) 函数值为 \(a_i ∧ x\) 的点上去

移完之后，原来每个棋子所在点的 \(SG\) 函数异或值就变为了

\(a_1 ∧ a_2 ∧ ⋯ ∧ a_{i−1} ∧ (a_i ∧ x) ∧ a_{i+1} ⋯ ∧ a_n =(a_1 ∧ a_2 ∧ ⋯ ∧ a_n) ∧ x=x ∧ x=0\)

证毕

证明II：

反证法:设将点 \(u\) 上的棋子移动到点 \(v\) 上后，每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值仍然为 \(0\)
那就说明 \(SG(u)=SG(v)\)，不符合 \(SG\) 函数的定义，不成立

证毕

所以做法是正确的。

三、如何求出每个点的 \(SG\) 函数值

记忆化搜索就好啦~

每层记忆化搜索中，如果该点的 \(SG\) 函数值已经被计算出，那就直接返回该值。否则用一个 \(set\) 记录每个点能到的所有点的 \(SG\) 函数值集合，然后从 \(0\) 开始遍历，找到第一个 \(set\) 里面没有的数，将该值记录在该点上并返回。

四、时间复杂度

最坏情况下，每个点都会被遍历一次，时间复杂度为 \(O(n)\)。

对于每个点，我们会将其所能到达的所有点扔到一个 \(set\) 中。

而每个点能到达的点的数量，取决于从该点出发的边的数量。

所以总共我们会往 \(set\) 中插入 \(m\) 次。

但是对于每个 \(set\)，我们至多只会往其中插入 \(n - 1\) 个数。

所以对于 \(set\) 的总复杂度为 \(O(mlogn)\)。

那么本题的总时间复杂度即为 \(O(n+mlogn)\)。

五、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 2010, M = 6010;

// SG函数模板题
int n, m, k;
int f[N];

int h[N], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int sg(int u) {
    //记忆化搜索
    if (f[u] != -1) return f[u];

    //找出当前结点u的所有出边，看看哪个sg值没有使用过
    set<int> S;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        S.insert(sg(j));
    }

    //找到第一个没有出现的过的自然数， 0,1,2,3,4,...
    for (int i = 0;; i++)
        if (S.count(i) == 0) {
            f[u] = i;
            break;
        }

    return f[u];
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h); //初始化邻接表

    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    while (m--) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }

    memset(f, -1, sizeof f); //初始化sg函数的结果表
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int u;
        scanf("%d", &u);
        res ^= sg(u); //计算每个出发点的sg(u)，然后异或在一起
    }

    if (res) //所有出发点的异或和不等于0,先手必胜
        puts("win");
    else //所有出发点的异或和等于0，先手必败
        puts("lose");

    return 0;
}

标签：函数,int,1319,异或,棋子,SG,mex,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16407443.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9