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数字角频率的理解

2022-06-23 12:06:27  阅读:32  来源: 互联网

标签:采样 数字 Omega 离散 角频率 理解 pi omega


数字角频率的理解

与模拟角频率的联系

数字角频率 \(\omega_0\) 是描述离散时间信号的物理量,如

\[cos(\omega_0 t) \]

相对应的,模拟角频率\(\Omega\)是描述连续时间信号的物理量,如

\[cos(\Omega_0 t) \]

一般我们将离散与连续联系起来讲,即认为离散信号是连续信号的采样序列。

数字角频率 \(\omega_0\) 和模拟角频率 \(\Omega_0\) 的关系

\[\omega_0=\Omega_0 \times T_0=\Omega_0 / F_T \]

\(T_0\)是采样周期,\(F_T\)是采样频率。这是一个很重要的关系,以上式子可以用文字描述:
数字角频率是模拟角频率对采样频率的归一化

为什么有上述关系?
很简单,现有连续时间信号如下

\[x_0(t)=Acos(\Omega_0 t+\phi_0) \]

以\(T_0\)为周期采样,可采到 \(n\) 点离散周期序列,此时信号(或者说函数) \(f\)的自变量变为 \(n\) ,也就是说连续信号变成了离散信号,公式如下

\[ x_0(t)=f(nT_0)=Acos(\Omega_0 T_0n+\phi_0) \]

此时,将常数 \(\Omega_0 T_0\) 替换为 \(\omega_0\) ,就有另一种表达方式,

\[ x_1(n)=x_0(t)=x_0(nT_0)=Acos(\omega_0 n+\phi_0) \]

此时我们说这表示了一个离散信号。

从表达式来看,你可能会说这不还是连续的吗?

确实,上述表达式描绘了一条连续的曲线,然而,不要忘了,我们的自变量变成了 \(n\) 这个采样后的离散序列,因此,我们获得的信号也只有相对应的离散序列。

数字角频率的范围

傅里叶大佬说的,任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的叠加。而正弦波的周期为\(2\pi\),从极坐标的角度来看就是一个圆。
img
从欧拉公式的角度来看看,

\[e^{ix} = cosx +isinx \]

易得,正余弦函数均可使用\(e\)指数表示,因此傅里叶分析还有指数形式,也是比较常用的形式。

注意,由数字角频率和模拟角频率的关系

\[\omega_0=\Omega_0 \times T_0=\Omega_0 / F_T \]

可见,数字角频率和采样频率是密切相关的。

上面我们提到,一个信号的模拟角频率是由若干圆构成的,想看动态图可以去WiKi

直观的理解,模拟角频率的概念是每秒多少弧度,数字角频率的概念是每个采样点之间多少弧度

数字角频率是模拟角频率经过了采样后的结果,此时有一个重要的概念——混叠。

混叠就是,使用不同的采样频率获得了相同的离散序列。

不妨想想一个场景,一个人在坐摩天轮,摩天轮以固定的频率转动。我们正对着摩天轮进行连续的拍照,拍摄之间隔着固定的时间,或者说是固定的频率(采样频率),可以得到一组相片。可以想象,如果变换摩天轮的频率,再拍照的话,是有可能获得同一组相片的。这就是混叠。

说完混叠,我们再回到数字角频率的问题上来

由上述,数字角频率的概念是每个采样点之间多少弧度,又因为这是在单位圆上进行采样,自然可以知道两个采样点最大的间隔是\(2\pi\),换一种说法,数字角频率\(3\pi\) 和数字角频率 \(\pi\) 其实是相同的两个采样点,获得的序列也是一样的。

不难得出,数字角频率\(\omega\)具有周期性,周期为\(2\pi\).一般取值范围为 \([0,2\pi]\) 或 \([-\pi ~ \pi]\) .

来个栗子
有离散序列:

\[x_1[n]=e^{j\omega_1n} \quad(0 \leq \omega_1 \leq 2\pi) \\ x_2[n]=e^{j\omega_2n} \quad(2\pi k \leq \omega_2 \leq 2\pi(k+1)) \]

如果

\[\omega_2 = \omega_1 + 2\pi k \]

那么

\[x_2[n]=e^{j\omega_2 n}=e^{j(\omega_1 + 2\pi k)n}=e^{j\omega_1 n}=x_1[n] \]

高频?低频?

模拟角频率是连续的,自然是数值越大,频率越高。

数字角频率就不一样了,它是具有周期性的。

那么如何界定一个离散信号的高低频呢?

这要涉及一个很重要的定理,奈奎斯特采样定理
简单来讲,获得离散信号时,采样频率必须大于原信号最高频率分量(信号带宽)的2倍。

有如下数学推导

\[\omega_0=\Omega_0 \times T_0=\Omega_0 / F_T \]

采样频率确定后,最大不混叠模拟角频率频率\(\Omega_0 = 2\pi F_T/2\),带入上式,得

\[\omega_0=\Omega_0 / F_T = \pi \]

可得,最高频为\(\pi\),同理,易知,最低频为0.

标签:采样,数字,Omega,离散,角频率,理解,pi,omega
来源: https://www.cnblogs.com/Baiyug/p/16404627.html

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