标签：infty frac 复习 omega sum 信号 整理 pi Omega
公式大纲
比较各个级数的相似性，找到记忆规律。（和z一起记会有很多便捷的地方！）
| 公式 | 连续 | 离散 | |
|---|---|---|---|
| CTFT↓,非周期,连续 | DTFT↓ ，周期,连续(PS，z变换所有就是把这里\(z=e^{j\omega}\)) | ||
| 傅里叶变换 | \(X(j\Omega)=\int_Rx(t)e^{-j\Omega t}dt\) | \(X(e^{j\omega})=\sum_{-\infty}^{\infty} x(n)e^{-j\omega t}dt\) | |
| 常用公式比较 | \(e^{-at}u(t)\longleftrightarrow \frac{1}{a+j\Omega}\) | \(a^nu(n)\longleftrightarrow \frac{1}{1-ae^{-j\omega}}\) | |
| 时移 | \(x(t-t_0)\longleftrightarrow e^{-jt_0\Omega}X(j\Omega)\) | \(x(n-n_0)\longleftrightarrow e^{-jn_0\omega}X(e^{j\omega})\) | |
| 移频 | \(x(t)e^{jt\Omega_0}\longleftrightarrow X(j(\Omega-\Omega_0))\) | \(x(n)e^{jt\omega_0}\longleftrightarrow X(e^{j(\omega-\omega_0)})\) | |
| 时域 | 微分 | 一次差分 | |
| \(\frac{dx(t)}{dt}\longleftrightarrow j\Omega X(j\Omega)\) | （直接利用时移相减） | ||
| 时域 | 积分 | 累加 | |
| \(\int^{t}_{-\infty}x(t)dt\longleftrightarrow \frac{1}{j\Omega}X(j\Omega)+\pi X(0)\delta(\Omega),记住这里只能在0处取值(\delta(\Omega))的直流(X(0))分量\) | \(\sum^{\infty}_{k=-\infty}x(k)\longleftrightarrow\frac{1}{1-e^{-j\omega}}X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k),这里的加和是因为DTFT 是周期的，因此直流分量不止在\omega=0处取得\) | ||
| 乘积 | 乘积 | ||
| \(x(t)y(t)\longleftrightarrow\frac{1}{2\pi}X(j\Omega)*Y(j\Omega)\),由对偶有2pi! | \(x(n)y(n)\longleftrightarrow\frac{1}{2\pi}X(j\omega)*Y(j\omega)\) | ||
| 频域 | 微分 | 微分 | |
| \(tx(t) \longleftrightarrow j\frac{dX(j\Omega)}{d\Omega}\) | 微分：\(nx(n)\longleftrightarrow j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega}\) | ||
| 拓展之z域微分：\(nx(n)\longleftrightarrow -z\frac{dX(z)}{dz}\) | |||
| path瓦尔定理 | \(\int_{<R>}x(t)^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{<R>}X(j\Omega)^2 d\Omega\) | \(\sum_R x(n)^2=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})^2d\omega,其中x(n)^=x^*(n)x(n)模值\) | |
| 针对周期函数的CTFT | 针对周期函数的DTFT | ||
| 周期函数的傅里叶变换 | \(X(j\Omega)=2\pi \sum_{k=<Z>}\dot{A_k}\delta(\Omega-k\Omega_0)\) | \(X(e^{j\omega})=2\pi \sum_{<k=Z>}\dot{A_k}\delta(\omega-\omega_0 k),\omega_0=\frac{2\pi}{N}\) | |
| 周期傅里叶举例 | \(\sum_{k=<Z>}\delta(n-kT)\longleftrightarrow \frac{2\pi}{T}\sum_{k=<Z>}\delta(\Omega-k\frac{2\pi}{T})\) | \(\sum_{k=<Z>}\delta (n-kN)\longleftrightarrow \frac{2\pi}{N}\sum_{k=<Z>}\delta(\omega-k\frac{2\pi}{N}),这里e消失的原因很简单，因为是周期的\) | |
| ICTFT↓,连续非周期 | IDTFT↓,离散非周期 | ||
| 傅里叶反变换 | \(x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_R X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega\) | \(x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega\) |
LTI系统(线性时不变系统)
\[\fbox{性质} \]记忆性，可逆性（一阶差分运算系统不可逆），因果性，稳定性
单位阶跃响应：对单位阶跃信号u(n)/ u(t)的相应
可以使用\(h(t)=\frac{d s(t)}{dt},h(n)=s(n)-s(n-1)\)来求出阶跃响应，其中s(t)是冲激函数的单位脉冲响应
线性增量系统(P42)
\(x(t)\Longrightarrow^{线性系统}\Longrightarrow z(t) \Longrightarrow ^{+y_0(t)} \Longrightarrow y(t)\)
零状态响应\(z(t)\)：是只由x(t)引起的输出相应
零输入响应\(y_0(t)\)：直观理解也就是没有输入时候的响应。加到零状态响应上得到相应y(t)的信号
求解其中的线性系统，可以利用\(y_1(t)-y_2(t)=x_1(t)-x_2(t)\)，也就是增量是线性的来求解。
\(\hat{x}=x_1(t)-x_2(t),\hat{y}=y_1(t)-y_2(t)\)
\(\hat{x}(t)\Longrightarrow^{线性系统}\Longrightarrow \hat{y}(t)\)
看一道难得的作业题（图二为华子哥亲笔手写，排面）：
常用变换对：\(e^{-at}u(t)\longleftrightarrow \frac{1}{a+j\Omega}\)
\(H(j\Omega)=\frac{Y(j\Omega)}{X(j\Omega)}=\frac{\sum b_k(j\Omega)^k}{\sum a_k(j\Omega)^k}\)
常用变换对：\(a^nu(n) \longleftrightarrow \frac{1}{1-ae^{-j\omega}}\)
\[\fbox{(DTFT)离散时间LTI系统的频域分析} \]略，套路同上。
\[\fbox{z域LTI系统的频域分析} \]套路
这里的收敛域：观察X(z)和Y(z)的收敛域的交
z变换中的判断方法：(用来否定)
看z=1是否在收敛域内：
H(1)=\(\sum x^{-1}h(n)|_{z=1}=\sum h(n)\)
而\(|\sum h(n)|<\sum |h(n)|\),因此可以看到H(1)不收敛的话这个系统一定不收敛(也就是1是否在收敛域里面)
稳定性
稳定性\(\Leftrightarrow\)h(n)绝对可和,\(\sum|h(n)|\)。
这个系统对于任何有界的输入它的输出都是有界的。（同样，连续时间LTI系统稳定的充要条件是\(\int ^{\infty}_{-\infty}|h(t)|dt<\infty\)）
通俗易操作就是：看收敛域是否包括单位圆
因果性
是否是右边序列（一个外围的圆延展到无穷），在无穷处收敛
初值定理、终值定理
给出包含收敛域的零极点图可以写出H(z)的基本形式，可以利用这两个定理确定系数
初值定理（前提：因果序列）
\(x(0) = X(\infty)\)
终值定理（前提：因果序列）
\(x(\infty)=lim_{z\rightarrow 1}(z-1)X(z)\)
\[\fbox{框图绘制} \]例题：
要点：有几个加法号就有几个加法器。
y那边系数的加减要注意。并且系数上尽量把式子变成\(y(n)\)系数为1（针对差分），而连续时间则是把\(a_N\)变成1。
绘制时候：
Continuous LIT:
| x(t) | \(\rightarrow b_N\rightarrow\) | ＋ | \(\rightarrow\) | ＋ | \(\rightarrow \frac{1}{a_N}(下为-a_k了)\rightarrow\) | y(n) |
anyway，严格按照上图例题画法就不会出错！
CFS
连续-->非周期；周期-->离散
略
CFT
连续-->非周期；非周期-->连续
\[\fbox{定义} \]\(x(t)= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega\)
\(X(j\Omega)= \int^{\infty}_{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt\)
注意\(\Omega 连续\)即可
\[\fbox{性质} \]时移性质：
\(x(t-t_0)\longleftrightarrow X(j\Omega)e^{-j\Omega t_0}\)
时域微分与积分：
x(t)~X(j\(\Omega\))
微分：
\(\frac{dx(t)}{dt}=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{\infty}j\Omega X(j \Omega)e^{j \Omega t}d \Omega\)
\(\frac{dx(t)}{dt} \longleftrightarrow j\Omega X(j \Omega)\)
积分：
\(\int ^{t}_{-\infty}x(\tau)d\tau\longleftrightarrow \frac{1}{j \Omega}X(j \Omega)+ \pi X(0)\delta(\Omega)\)
。含义理解：一个是正常的积分所得，一个是直流分量的提取！
对偶性
如果把CTFT中的t和\(\Omega\)交换：
\(x(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}X(jt)e^{j\Omega t}dt\)
\(2\pi x(\Omega)=\int^{\infty}_{-\infty}X(jt)e^{j\Omega t}dt\)
获得的ICTFT:
\(2\pi x(-\Omega)=\int^{\infty}_{-\infty}X(jt)e^{-j\Omega t}dt\)
也就是对于一个时域函数\(\hat x(t)=X(jt)\),它的CTFT就是\(\hat{X}(j\Omega)=2\pi x(-\Omega)\),that is:
\(X(jt)\longleftrightarrow 2\pi x(-\Omega)\)
\[\fbox{常见函数的变换} \]周期CTFT：
\(X(j \Omega)=2\pi \sum^{\infty}_{k=-\infty}\hat{A}_k \delta(\Omega -k\Omega_0)\)。
也就是利用\(\int_{<T_0>}\)计算出\(\hat{A}\)再通过这个方程得到CTFT。（对于无限的，不可直接定义得到的信号，这样处理）
u(t-\(t_0\))的CTFT：
可以由积分性质，通过
\(\delta(t-t_0)\longleftrightarrow e^{-j\Omega t_0}\)转换而来
非周期信号频谱采样->周期信号：
\(\hat X(j\Omega)=\Omega_0 \sum^{\infty}_{k=-\infty}X_0(kj\Omega_0)\delta(j(\Omega-k\Omega_0))\)
\(注：X_0(kj\Omega_0)^{[采样信号频谱]}\)。
\(\hat X(j\Omega)\)是离散的，没有取到对应的\(k\frac{2\pi}{N}\)就不会有值
理解：乘上\(\Omega_0\)是为了让它“充满”这个频域，因为每次只取了\(\Omega_0\)这个范围里的一点，那么积分时候为了所谓“保持原样”，要记得乘上范围大小。
| 时域信号 | CTFT | 傅里叶变换 |
|---|---|---|
| \(x(t)\) | \(\int^{\infty}_{-\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt\) | |
| 门函数x(t)=1 for -\(\tau/2\)<t< \(\tau/2\) | \(\tau sinc(\frac{\tau/2}{\pi}\Omega)=\tau Sa(\frac{\tau}{2}\Omega)\) | |
| \(e^{j\Omega_0 t}\) | \(2\pi\delta(\Omega-\Omega_0)\) | |
| \(sin(\Omega_0 t)\) | \(\frac{\pi}{j}[\delta(\Omega-\Omega_0)-\delta(\Omega+\Omega_0)]\)这里注意,用到了上面的性质，主要是因为求CTFT是乘-jk\(\Omega\)的 |
关于包络：
\(T_0\)不变时候是采样间隔不发生变化，因为采样对应的纵坐标值是\(A_k\)的取值，而\(A_k\)的意义是\(e^{jk\Omega_0 t}\)的系数，那么当\(\Omega_0\)发生变化时候，就对采样的频率发生了改变。那么可想而知，\(T_0\)增加时候变得密集。
无失真传输条件
幅频特征是个常数，相频特征是过原点一条直线（相位线性）
DFS
离散时间周期信号的傅里叶级数。时间离散-->频域周期；时间周期-->频域离散
\[\fbox{定义} \]\(x(n)=\sum_{k=<N>}\dot{A}_ke^{j\frac{2\pi}{N}kn}\)
\(\dot{A}_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\)
这里的N就跟连续时间的\(T_0\)一样
DTFT
离散时间非周期信号的傅里叶变换。时间离散-->频域周期；时间非周期-->频域连续
注：此处的X(j\(\omega\))==X(\(e^{j\omega}\))
\[\fbox{定义} \]\(x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(j\omega)e^{j\omega n}d\omega\)
\(X(j\omega)=\sum^{\infty}_{-\infty}x(n)e^{-j\omega n}\)
非周期信号频谱采样->周期信号：
\(\hat X(j\omega)=\frac{2 \pi}{N} \sum^{\infty}_{k=-\infty}X_0(k\frac{2\pi}{N})\delta(\omega-k\frac{2\pi}{N})\)
\(注：X_0(k\Omega_0)^{[采样信号频谱]}\)。
\(\hat X(j\omega)\)是离散的，没有取到对应的\(k\frac{2\pi}{N}\)就不会有值
理解：乘上\(\frac{2\pi}{N}\)是为了让它“充满”这个频域，因为每次只取了\(\frac{2\pi}{N}\)这个范围里的一点，那么积分时候为了所谓“保持原样”，要记得乘上范围大小。
并且对于离散时间的频域分析，离散时间频域分析使用\(\omega\)。对比连续时间其实是没有差别的，唯一区别就是离散时间“范围大小”只能是\(\frac{2\pi}{N}\),连续时间时候\(\Omega_0\)可以任意取。
奈奎斯特采样定理
时域压缩，频域展宽。
时域相乘，频域卷积
\(\Omega_{奈奎斯特}(x(2t)\times x(t-3))=2\times[2\times \Omega(x(t))+\Omega(x(t))]\)
时域卷积，频域相乘。那么高的那一部分乘0就会消失。
\(\Omega_{奈奎斯特}(x(2t)* x(t-3))=2\times min(2\times\Omega(x(t)),\Omega(x(t)))\)
因为时移不改变信号频率大小因此t-3没有用
知道最高频率分量就可以。
答题注意点：分清题目中给的是\(f\)还是\(\omega\),两者单位不同，后者要在前者基础上\(\times 2\pi\)
DFT 离散傅里叶变换
离散-->有限；有限-->离散
DTFT频域分布是连续频率变量\(\omega\)的函数，以\(2\pi\)为周期
\(X(k)=\sum^{N-1}_{n=0}x(n)W^{kn}_N,k=0,1,2,3..N-1\)
\(x(k)=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{k=0}X(k)W^{-kn}_N,n=0,1,2...N-1\)
DFT是对DTFT频域的离散化（也就是要把时域周期周期化）
滤波器
关于理想滤波器之前一直困惑的点：理想滤波器的时域响应在t的负半轴也有值，这意味着理想低通滤波器是非因果的，即系统当前的输出不仅与过去的已知的输入有关，还与将来的未输入的信号有关，这显然是违背因果性的。其次，理想滤波器频率响应的边沿“陡峭程度为无限大”，这就意味着需要无限阶的滤波器去实现，在实际情况中，只能用有限阶的滤波器去尽量地逼近，而不能真正地实现。
FFT
原本的计算成本：\(\sum_{<N>}(N+N-1)=O(N^2)\)
\[\fbox{按时间抽取的FFT(Decimation In Time)} \]把x(n)按照奇数偶数分成：
\(x_1(r)=x(2r),x_2(r)=x(2r+1),r=0,1...\frac{N}{2}-1\)
进行推导：
\(X(k)=\sum_{<n=N-1>}x(n)W^{kn}_N\)
\(=\sum_{<r=\frac{N}{2}-1>}x_1(r)W^{2kr}_N+x_2(r)W^{k(2r+1)}_N\)
\(=\sum_{<r=\frac{N}{2}-1>}x_1(r)W^{2kr}_N+W^{k}_{N}x_2(r)W^{2kr}_N\)
\(=\sum_{<r=\frac{N}{2}-1>}x_1(r)W^{kr}_{\frac{N}{2}}+W^{k}_{N}x_2(r)W^{kr}_{\frac{N}{2}}\)
\(=X_1(k)+W^{k}_{N}X_2(k),k=0,1,2...\frac{N}{2}-1（可见只能求到X(k)一半）\)
\(X(k+\frac{N}{2})\)
\(=X_1(k)-W^{k}_{N}X_2(k),k=0,1,2...\frac{N}{2}-1\)
记忆：这里的\(W_N^k\)一直都没有变N呢
理解为什么只能求到一半：这是个单独的值。因此等号是一定成立的。X(1)就是X(1)和k范围无关。但是受制于变量转换，我们只能求取到相关部分。
\[\fbox{按频率抽取的FFT算法(Decimation In Frequency)} \]性质浅览：
\(W^{(k+N)n}_N=W^{k(n+N)}_N=W^{kn}_N,对n和k都有周期性\)
\(W^{\frac{N}{2}}_N=-1\)
\(W^{kn}_{\frac{N}{2}}=W^{2kn}_{N}\)
将序列进行分为两组时候，按照序列前一半和后一半划分
\(X(k)=\sum_{<n=N>}x(n)W^{kn}_N\)
\(=\sum_{<n=\frac{N}{2}>}[x(n)W^{kn}_{N}+x(n+\frac{N}{2})W^{k(n+\frac{N}{2})}_N]\)
\(=\sum_{<n=\frac{N}{2}>}[x(n)+(-1)^kx(n+\frac{N}{2})]W^{kn}_N,k=0,1,2...N-1\)
矩形窗函数：\(R_N(n)=1(0\le n \le N-1),0(others)\)
z变换
在整个信号系统课程学习中最重要的是什么？是时域和频域的相互转换，是换一个角度进行计算思考的思维。
而z变换非常经典地阐述了这个思维，把傅里叶变换中的一些不适用的地方进行了“延拓”，最经典的估计就是u(n)的z变换和傅里叶变换的比较（此处致谢感谢梁思初同学的idea）
注意：收敛域！！！
其中，即使是u(-n),它也是\(z^{-n}\),因此\((\frac{1}{2})^2u(-n)\)的收敛域也仍然是小于\(\frac{1}{2}\)而不是2，和u（n）时候是一样的
部分分式展开法：收敛域是各分式收敛域公共部分
\[\fbox{性质} \]z域微分:\(nx(n)\longleftrightarrow -z\frac{dX(z)}{dz},收敛于：R\)
重要例子：
\(a^nu(n)\longleftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}},收敛域|z|>|a|\)
\(na^{n-1}u(n)\longleftrightarrow \frac{z}{(z-a)^2}\)，也可以写成\(na^nu(n)\longleftrightarrow \frac{az}{(z-a)^2}\)
这个初始条件说明是一个增量线性系统，要用单边z变换做。单边z:选择性忽略双边中n<0那部分
单边z变换
定义：\(\mathcal{X}(z)=\sum ^{\infty}_{n=0}x(n)z^{-n}\)
移位性质：
\(x(n-1)\longleftrightarrow z^{-1}\mathcal{X}(z)+x(-1)\)
证明：
特殊函数：
门函数：
\(X(j\Omega)=1(|\Omega|<W),0(|\Omega|>W)\).像一个门一样把频谱截断了
\(x(t)=\frac{sin(Wt)}{\pi t}\)。画起来像个中心对称的泰山。
利用对偶：
\(x(t)=1(|t|<\tau/2),0(|t|>\tau/2)\).
\(X(j\Omega)=\frac{2*sin(\Omega \tau/2)}{\Omega}\)。
为什么这里会有“x2”存在？对于分子上的是因为\(|t|<\tau/2\),定义为之。分母上则是因为\(\Omega=\frac{2\pi}{T}\)。使用对偶时候有乘2\(\pi\)
\(硬记一个：低通滤波器的是频域门，时域是x(t)=\frac{sin(Wt)}{\pi t},W是门范围的\frac{1}{2}。!\)
\(要注意！对于DTFT来说，时域为门时候\tau=2N_1+1，特殊的DTFT门如下\)
\(x(n)=1(|n|<N_1时)\longleftrightarrow X(j\Omega)=\frac{sin((N_1+\frac{1}{2}))}{sin(\frac{\omega}{2})}\)
\[\fbox{奇怪的函数,它们的名称} \]\(Sa(x)=\frac{sin(x)}{x}\)
\(sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}\)
Sa(x)函数的积分：正弦积分函数Si(x)函数
\(Si(x)=\int^{x}_{0}\frac{sin(\lambda)}{\lambda}d\lambda\)
上图有误，左下角是\(\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}\)
单边指数信号
\(e^{-at}u(t)-->\frac{1}{a+j\Omega}\)
符号函数求解\(X(j\Omega)=\int^{\infty}_0e^{-at}e^{-j\Omega t}dt-\int^0_{-\infty}e^{at}e^{-j\Omega t}dt=\frac{-2j\Omega}{a^2+\Omega^2}-->\frac{2}{j\Omega}\)
对于右下角的求解:
\(\sum^{\infty}_{n=0}(ae^{-j\omega})^n+\sum^{\infty}_{n=1}(ae^{j\omega})^n\)，注意，下标是不相同的！！和连续不一样并不能是简单的相加！因为有个下标等于0时。
类门函数
\(CFS:A_k=\frac{\tau}{T}Sa(\tau\frac{\Omega}{2}),x(t)=1(t<|\tau/2|一个周期内),0(\frac{\tau}{2}<t<\frac{T_0}{2} )\)
\(DFS:A_k=\frac{\tau}{N}\frac{sin(\frac{\tau \omega}{2})}{sin(\frac{\omega}{2})},\tau=2N_1+1\)
\(CTFT:X(j\Omega)=\tau Sa(\tau\frac{\Omega}{2})\)
\(DTFT:A_k=\tau \frac{sin(\frac{\tau \omega}{2})}{sin(\frac{\omega}{2})},\tau=2N_1+1\)
西安交通大学第二版，课本勘误（maybe错了）：
P220(6.6)这里j后面应该有个"("
P342上往下数第三个公式错误。他把框图理解错了。
标签：infty,frac,复习,omega,sum,信号,整理,pi,Omega 来源： https://www.cnblogs.com/apiaosamaa/p/16397870.html
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