cf550 D. Regular Bridge

2022-06-06 20:35:36 阅读：178 来源： 互联网

标签：Bridge cf550 2s int 连通 Regular 相连 sim 号点

题意：

给定 $k$，构造连通、无重边、无自环、每个点的度为 $k$ 且含至少一个桥的无向无权图

$1\le k \le 100$

思路：

当 $k$ 为偶数时无解：设 $k=2s$，设某连通块 $G$ 与图的其他部分通过桥 $e$ 连接，去掉桥 $e$，则 $G$ 中有一个点的度为 $2s-1$，其他点的度为 $2s$。则 $G$ 中所有点的总度数为奇数，根据握手定理这是不可能的。

当 $k$ 为奇数时一定有解。这样构造：

一共 $2k+4$ 个点，两个连通块，每个连通块中有 $2k+4$ 个点。

考虑第一个连通块，其中的点编号为 $1\sim k+2$

第一个连通块中的点分为三种：$1$ 号点、$2\sim k$ 号点、$k+1$ 和 $k+2$ 两点

$1$ 号点与另一个连通块相连，然后与 $2\sim k$ 号点相连；

$k+1$ 号点与 $2\sim k$ 号点相连，$k+2$ 号也是。然后把 $k+1$ 和 $k+2$ 连起来；

$2\sim k$ 号点两两相连，但是删除形如 “$i -i+1$，$i $ 为偶数” 的边

int k; vector<PII> edges;
void make(int base) { // 1, 2~k, k+1,k+2
    for(int i = 2; i <= k; i++) edges.pb({1+base,i+base}),
        edges.pb({k+1+base,i+base}), edges.pb({k+2+base,i+base});
    for(int i = 2; i < k; i++)
        for(int j = i + 1; j <= k; j++)
            if(!(j - i == 1 && j % 2))
                edges.pb({i+base,j+base});
    edges.pb({k+1+base,k+2+base});
}
void sol() {
    cin >> k;
    if(k % 2 == 0) return cout << "NO", void();
    if(k == 1) return cout << "YES\n2 1\n1 2", void();
    cout << "YES\n" << 2*k+4 << ' ';
    edges.pb({1,k+3}); make(0), make(k+2);
    cout << edges.size() << endl;
    for(auto &[x,y]: edges) cout << x << ' ' << y << endl;
}

标签：Bridge,cf550,2s,int,连通,Regular,相连,sim,号点
来源： https://www.cnblogs.com/wushansinger/p/16349553.html

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