标签:frac 迭代 ln 多项式 牛顿 pmod exp 相关 equiv
(具体证明等请看 OIwiki)
描述
- 给定多项式 \(g(x),f(x)\) 满足:
- 求出模 \(x^n\) 意义下的 \(f(x)\)
公式表现形式
- 假设已经求出了模 \(x^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\) 意义下的解 \(f_0\) ,那么
- 这个 \(g\) 需要我们构造
多项式求逆
设常数函数 \(h(x)\) ,求它在模 \(x^n\) 意义下的逆函数 \(f(x)\)
\[g(f(x))=f^{-1}(x)-h(x) \]\[f(x)\equiv f_0(x)-\frac{f_0^{-1}(x)-h(x)}{-f_0^{-2}(x)} \pmod {x^n} \]\[f(x)=f_0(x)(2-h(x)f_0(x)) \]- 注意这里 \(h(x)\) 是个常函数,所以求导后就没了
- 参考代码
多项式开根
设常数函数 \(h(x)\) ,求它在模意义下的开根 \(f(x)\)
\[g(f(x))\equiv f^2(x)-h(x)\pmod {x^n} \]\[f(x)=f_0(x)-\frac{f_0^2(x)-h(x)}{f_0(x)} \]\[f(x)=\frac{f_0(x)+h(x)+f_0^{-1}(x)}{2} \]多项式 exp
设常数函数 \(h(x)\) ,求它在模意义下的 exp \(f(x)\)
\[g(f(x))\equiv \ln(f(x))-h(x) \]\[f(x)=f_0(x)[1-\ln(f(x))+h(x)] \]多项式 ln
- 先求导,再积分
- 积分和求导都是 \(O(n)\) 的,所以总复杂度为 \(O(n\log n)\)
- 参考代码
值得一提的是 \(\ln,\exp\) 有 \(n^2\) 推法,具体见:多项式 lnexp 暴力解法
标签:frac,迭代,ln,多项式,牛顿,pmod,exp,相关,equiv 来源: https://www.cnblogs.com/kzos/p/16341513.html
本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享; 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除; 5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。