标签：ABC253H 32 复杂度 矩阵 枚举 幂级数 个数 集合

首先可以将 \(k\gets \min(n-1,k)\)，因为 \(n-1\) 次操作后的操作都是无效的。

考虑对森林个数计数然后除以 \(m^k\)。

设 \(f_{i,S}\) 表示点集为 \(S\)，边集大小为 \(i\) 的森林个数，这里不考虑加边的顺序，因此 \(k\) 次操作后森林的个数为 \(f_{k,\{1,\ldots ,n\}}k!\)。

考虑转移，设 \(g_{S}\) 表示点集 \(S\) 的生成树个数，每次枚举一颗树 \(T\subset S\)，\(f_{i,S}\gets g_{T}f_{i-|T|+1,S\backslash T}\)。

\(g\) 是好求的，枚举集合后矩阵树定理即可，这部分复杂度为 \(O(n^32^n)\)。

\(f\) 的转移其实就是个多一维限制的子集卷积的形式，换一种形式即为：

\[f_{i,U}=\sum_{S \cup T=U,S\cap T=\varnothing,j+|T|=i-1}f_{j,S}g_{T,|T|} \]

定义这种运算为作用于集合幂级数上的单位乘法，将 \(f_i\) 和 \(g\) 视为集合幂级数，那么就可得 \(f_i=g^i\)。

zszz，fmt 是线性变换，类似连通子图计数的方法，定义 \(g_i\) 为 \(\sum_{S}[|S|=i]g_Sx^S\)，于是就可以可以在一开始用一次集合或的 fmt 得到 \(\hat{g_i}\)，然后过程中暴力枚举进行普通卷积（这里不是复杂度瓶颈），最后进行一次 ifmt 得到答案，这部分的复杂度也是 \(O(n^32^n)\)。

总的复杂度就是 \(O(n^32^n)\)。

（Official Editorial 的 \(O(n^32^n+n3^n)\) 太逊啦！）

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来源： https://www.cnblogs.com/tiatto/p/16322429.html

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