标签：epsilon 逐点 拓展 数分 exist delta forall 一些 收敛

逐点收敛：

一个函数列\(\{f_n(x)\}\)逐点收敛到\(f(x)\)如果\(\forall x\in D,\epsilon>0,\exist N,n>N,|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\).

一致收敛：

一个函数列\(\{f_n(x)\}\)一致收敛到\(f(x)\)如果\(\forall \epsilon>0,\exist N,\forall x\in D,n>N,|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\).

等度连续：

一个函数列\(\{f_n(x)\}\)满足\(\forall \epsilon>0,\exist \delta ,s.t.\forall n,x_0\in D,|x-x_0|<\delta,|f_n(x)-f_n(x_0)|<\epsilon\).

于是有如果\(f(x)\)连续，那么一致收敛\(\Leftrightarrow\)等度连续+逐点收敛。

证明：

\(\Rightarrow\) 推逐点收敛显然，推等度连续:\(f(x)\)连续，所以\(\forall \epsilon, \exist \delta_1\)使得\(\forall x\in B_{\delta_1}(x_0),|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)，一致收敛对同上的\(\epsilon,\exist N\)使得\(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\)，那么有\(|f_n(x)-f_n(x_0)|<|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f(x_0)|+|f(x_0)-f_n(x_0)|<3\epsilon\) 然后加上前面有限项，于是等度连续。

\(\Leftarrow\) 简略有\(|f_n(x)-f(x)|<|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|+|f(x_0)-f(x)|\)类似于上面的推法即可得。

显然可以用等度连续去看一些判别法为什么成立（以及要求有多过）。。

标签：epsilon,逐点,拓展,数分,exist,delta,forall,一些,收敛
来源： https://www.cnblogs.com/chinohhj/p/16315968.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。