中国剩余定理

2022-05-26 16:34:31 阅读：194 来源： 互联网

《孙子算经》有这么一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。
就是说：一些东西，不知道有多少个，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个，问这些东西最少有多少个。
《孙子歌诀》中给出了解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。
思路就是$5*7=35$，$35$的倍数中能模$3$等于$1$的最小数是$70$，同理$3*7\mod{5}=1$,$3*5\mod{7}=1$，接着$70*2+21*3+15*2=233$，再将$233$模$105$得$23$，最后23就是这些东西的最小个数。
原理：
$70*2\mod{3}=2$，$21*3\mod{3}=0$，$15*2\mod{3}=0$ ==> $（70*2+21*3+15*2）\mod{3}=2$，$（70*2+21*3+15*2）\mod{105}\mod{3}=2$。
$70*2\mod{5}=0$，$21*3\mod{5}=3$，$15*2\mod{5}=0$ ==> $（70*2+21*3+15*2）\mod{5}=3$，$（70*2+21*3+15*2）\mod{105}\mod{5}=3$。
$70*2\mod{7}=0$，$21*3\mod{7}=0$，$15*2\mod{7}=2$ ==> $（70*2+21*3+15*2）\mod{7}=2$，$（70*2+21*3+15*2）\mod{105}\mod{7}=2$。
普遍思路：
$\left\{\begin{matrix} m\mod a_{1}=b_{1} & & & & \\ m\mod a_{2}=b_{2} & & & & \\ …… & & & & \\ m\mod a_{n}=b_{n} & & & & \end{matrix}\right.$
设$M=\prod_{i=1}^{n}a_{i} $，
设 $ n_{i} $ 是 ${M\div a_{i}}$ ，且$n_{i}\mod a_{i}=1$
最后的答案就是$\sum_{i=1}^{n}n_{i}*b_{i}\mod M $
证明：
$n_{i}\mod a_{i}=1$ ==> $n_{i}*b_{i}\mod a_{i}=b_{i}$
n数组中除$n_{i}$外，其余的都可以被$a_{i}$整除。
所以$\sum_{i=1}^{n}n_{i}*b_{i}\mod a_{i}=b_{i}$ ==> $\sum_{i=1}^{n}n_{i}*b_{i}\mod M\mod a_{i}=b_{i}$
代码：

#include<iostream>
#define int __int128
using namespace std;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char a=getchar();
	while(a<'0'||a>'9'){
		if(a=='-')f=-1;
		a=getchar();
	}
	while(a>='0'&&a<='9'){
		x*=10;
		x+=a-'0';
		a=getchar();
	}
	return x*f;
}
int n;
int a[20],b[20];
void write(int a){
	if(a>9)write(a/10);
	putchar(a%10+48);
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		b[i]=read();
	}
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int ans=1;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j!=i){
				ans*=a[j];
			}
		}
		int j;
		for(j=1;ans*j%a[i]!=b[i];j++);
		ans*=j;
		cnt+=ans;
	}
	int ji=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ji*=a[i];
	}
	cnt%=ji;
	write(cnt);
	return 0;
}

这里的${n_{i}\div \left ( {M\div a_{i}}\right ) }$可以用求逆元的方法求。

标签：剩余,15,21,int,定理,70,中国,105,mod
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