标签：891 Nim 必败 石子 异或 cdots oplus neq AcWing

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int res = 0;
    while (n --) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }
    if (res)    puts("Yes");
    else    puts("No");
    return 0;
}

1. 先手必胜状态和先手必败状态
   ① 先手必胜状态：可以走到某一个必败状态；
   ② 先手必败状态：走不到任何一个必败状态；
2. 结论：假设 $ n $ 堆石子，石子的数目分别是 $ a_1,a_2,\cdots,a_n $ ，如果 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \neq 0 $ ，则先手必胜，否则，先手必败
   ① $ 0 \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 = 0 $ ，说明没有石子可拿；
   ② 如果 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0 $ ，那么玩家必然可以通过拿走某一堆里面的若干个石子，使得异或值变为 $ 0 $
   证明：不妨设 $ x $ 的二进制表示中，最高位 $ 1 $ 在 $ x $ 的第 $ k $ 位，那么必然存在一个 $ a_i $ ，$ a_i $ 的第 $ k $ 位为 $ 1 $ （反证法：如果 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的第 \(k\) 位都为 \(0\)，则 \(x\) 的第 \(k\) 位也必然为 \(0\)，与最高位 $ 1 $ 在 $ x $ 的第 $ k $ 位矛盾），$ a_i \oplus x < a_i $，那么从第 \(i\) 堆石子中拿走 $ (a_i - a_i \oplus x) $ 个石子，第 \(i\) 堆石子还剩 $a_i - (a_i - a_i \oplus x) = a_i \oplus x $ ，此时 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \oplus x = 0 $
   ③ 如果 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0 $，那么无论玩家怎么拿，最终的异或值都不为 $ 0 $
   反证法：假设玩家从第 \(i\) 堆石子拿走若干个，异或值为 $ 0 $，不妨设第 $ i $ 堆还剩下 $ a_i^{'} $ 个，$ 0 \leqslant a_i^{'} < a_i $ ，$ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots a_i^{'} \oplus \cdots \oplus a_n = 0 $，那么 $ (a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_i \oplus \cdots \oplus a_n) \oplus (a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_i^{'} \oplus \cdots \oplus a_n) = 0 \oplus (a_i \oplus a_i^{'}) = 0 $，推出 $ a_{i} \oplus a_{i}^{'} = 0 \rightarrow a_{i} = a_i^{'} $，与 $ a_i^{'} < a_i $ 矛盾，证明完毕
   ④ 基于上述结论，当先手遇到的是 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0 $，必然可以通过拿走某一堆里面的若干个石子，使得异或值变为 $ 0 $，而后手无论怎么拿，最终的异或值都不为 $ 0 $，不断重复这个过程，后手必然会遇到 $ 0 \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 = 0 $ 这一失败的局面，而当先手遇到的是 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0 $ 的局面时，都会给后手创造 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0 $ 的局面，先手必败

标签：891,Nim,必败,石子,异或,cdots,oplus,neq,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/wKingYu/p/16273836.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。