标签：le const int ed UR fa 分组 20 mx
题目
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分析
定义 \(a\le b\) 当且仅当 \(a\) 为 \(b\) 的子串，题目就是要求 \(S[l:r]\) 的所有本质不同的子串和 \(\le\) 构成的偏序集的最小链覆盖中链的条数。
熟练地使用 Dilworth 定理，我们转而求最长反链的长度。注意到，字符串作为元素，自带长度的区分。根据我们的经验，按照这个度量去划分很有可能可以得到最长反链——因为，长度相等的子串构成的集合一定不存在偏序关系。所以，可以猜到：
结论 I：
最长反链的长度即为最大的同一长度的本质不同子串个数。
证明移步 UOJ 题解，这边不想管了。
此时已经可以导出一个 \(O(nq)\) 的做法，然而还需要接着优化。简单尝试，可以感知到硬来优化是行不通的——换言之，应当继续寻找性质。
难点就在于：下面的性质不容易猜出来（至少我没有明确的线索）。这里只能直接借助 UOJ 题解来理解：
结论 II：
最长反链长度 \(\ge k\) 当且仅当长度为 \(n-k+1\) 的子串全不相同。
证明：
充分性显然。对于必要性进行反证法，如果存在 \(S[p:p+n-k]=S[q:q+n-k]\)，则可以直接翻译为 \(\forall 0\le d\le n-k,S[p+d]=S[q+d]\)。对于任意的 \(l\le n-k+1\)，我们可以得到长度为 \(l\) 的本质不同的子串个数至多为 \((n-l+1)-(n-k+1-l+1)=k-1\)，矛盾。
那么，根据结论，对于一个确定的字符串 \(S\)，不难得到答案即为：
\[|S|-\max_{1\le i<j\le |S|}\{|\operatorname{LCP}(S[i:],S[j:])|\} \]回到子串的问题上来。对于原串建立后缀树，则对于某一个后缀 \(S[i:]\)，当它和 \(S[j:]\) 的 LCA 确定时，真正有效的 \(j\) 只有两个：\(<i\) 的最大的 \(j\)、\(>i\) 的最小的 \(j\)。
但是这明显还不够，我们接着剔除可考虑的 \((i,j)\) 对。不难想到，如果 \(i_1\le i_2\le j_2\le j_1\)，且 \(i_1\le i_2,j_1\le j_2\) 不同时成立，则 \((i_1,j_1)\) 也是没用的。这一点直接启发我们针对 LCA 而非 \(i\) 进行考察。当我们想要新增 LCA 的某个子树进行考虑的时候，我们可以进行启发式合并。则根据前面的论断，当我们想要加入一个结点的时候，我们只需要在已有集合里面找出两个下标最近的元素即可。这样只会产生 \(O(n\log n)\) 个有效的 \((i,j)\)，启发式合并的复杂度仅有 \(O(n\log^2n)\)。
再求解原问题。由于受到 \(r\) 的限制，因此我们需要分别考虑 \(\operatorname{LCP}\) 完全包含于 \([l,r]\) 和部分包含于 \([l,r]\)（也就是伸出去了一部分）的情况。然而这两种情况都可以轻易地转化，变为“可扫描线”的问题，此处便不在赘述。
小结：
- 最长反链取值范围的经验性论断，以及本题中给出的两个结论，都挺重要的。
- 剔除无效 \((i,j)\) 对的部分：主动地去想到“剔除”的操作，然后再考察下标之间的关系，通过严格的偏序筛掉大量没有用的对。以及，启发式合并的思路也值得积累。
- 小心最后“\(\operatorname{LCP}\) 是否完全包含”的讨论！
代码
#include <set>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )
const int INF = 1e9;
const int MAXN = 1e5 + 5, MAXV = 2e5 + 5;
template<typename _T>
void read( _T &x ) {
x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
while( ! ( '0' <= s && s <= '9' ) ) { f = s == '-', s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
if( f ) x = -x;
}
template<typename _T>
void write( _T x ) {
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}
template<typename _T>
_T Max( const _T &a, const _T &b ) {
return a > b ? a : b;
}
template<typename _T>
_T Min( const _T &a, const _T &b ) {
return a < b ? a : b;
}
typedef std :: pair<int, int> Change;
struct Edge {
int to, nxt;
} Graph[MAXV << 1];
std :: vector<Change> uptL[MAXN], uptR[MAXN];
int tre[MAXN << 2];
std :: vector<int> qry[MAXN];
int qR[MAXN], ans[MAXN], bsc[MAXN];
std :: set<int> ed[MAXV];
int head[MAXV], stId[MAXV], cnt = 1;
int ch[MAXV][26], mx[MAXV], fa[MAXV];
int rt, lst, ntot;
char str[MAXN];
int N, Q;
inline void AddEdge( const int &from, const int &to ) {
Graph[++ cnt].to = to, Graph[cnt].nxt = head[from];
head[from] = cnt;
}
inline void Copy( const int &a, const int &b ) {
fa[a] = fa[b], mx[a] = mx[b];
memcpy( ch[a], ch[b], sizeof ch[b] );
}
inline void Expand( const char &c, const int &id ) {
int x = c - 'a', p = lst, cur = ++ ntot;
mx[cur] = mx[lst] + 1, ed[lst = cur].insert( id );
while( p && ! ch[p][x] ) ch[p][x] = cur, p = fa[p];
if( ! p ) { fa[cur] = rt; return ; }
int q = ch[p][x];
if( mx[q] == mx[p] + 1 ) { fa[cur] = q; return ; }
int nq = ++ ntot; Copy( nq, q );
mx[nq] = mx[p] + 1, fa[cur] = fa[q] = nq;
while( p && ch[p][x] == q ) ch[p][x] = nq, p = fa[p];
}
inline void AddPair( const int &l, const int &r, const int &lcs ) {
uptL[l - lcs + 1].emplace_back( r, lcs );
uptR[l - lcs + 1].emplace_back( r, l );
}
inline void Merge( int &a, int &b, const int &lcs ) {
if( ed[a].size() < ed[b].size() )
std :: swap( a, b );
for( const int& x : ed[b] ) {
std :: set<int> :: iterator
it = ed[a].upper_bound( x );
if( it != ed[a].end() ) AddPair( x, *it, lcs );
if( it != ed[a].begin() ) AddPair( * -- it, x, lcs );
}
for( const int& x : ed[b] ) ed[a].insert( x );
ed[b].clear();
}
void DFS( const int &u, const int &fa ) {
stId[u] = u;
for( int i = head[u], v ; i ; i = Graph[i].nxt )
if( ( v = Graph[i].to ) ^ fa )
DFS( v, u ), Merge( stId[u], stId[v], mx[u] );
}
inline void Upt( const int &x ) {
tre[x] = Max( tre[x << 1], tre[x << 1 | 1] );
}
void Build( const int &x, const int &l, const int &r ) {
if( l > r ) return ;
tre[x] = - INF;
if( l == r ) return ;
int mid = ( l + r ) >> 1;
Build( x << 1, l, mid );
Build( x << 1 | 1, mid + 1, r );
Upt( x );
}
void Update( const int &x, const int &l, const int &r, const int &p, const int &nVal ) {
if( l == r ) { tre[x] = Max( tre[x], nVal ); return ; }
int mid = ( l + r ) >> 1;
if( p <= mid ) Update( x << 1, l, mid, p, nVal );
else Update( x << 1 | 1, mid + 1, r, p, nVal );
Upt( x );
}
int Query( const int &x, const int &l, const int &r, const int &segL, const int &segR ) {
if( segL <= l && r <= segR ) return tre[x];
int mid = ( l + r ) >> 1, ret = - INF;
if( segL <= mid ) ret = Max( ret, Query( x << 1, l, mid, segL, segR ) );
if( mid < segR ) ret = Max( ret, Query( x << 1 | 1, mid + 1, r, segL, segR ) );
return ret;
}
int main() {
rt = lst = ++ ntot;
read( N ), read( Q );
scanf( "%s", str + 1 );
rep( i, 1, N ) Expand( str[i], i );
rep( i, 2, ntot )
AddEdge( fa[i], i ),
AddEdge( i, fa[i] );
DFS( rt, 0 );
rep( i, 1, Q ) {
int l; read( l ), read( qR[i] );
qry[l].push_back( i ), bsc[i] = qR[i] - l + 1;
}
Build( 1, 1, N );
per( i, N, 1 ) {
int n = uptL[i].size();
rep( j, 0, n - 1 )
Update( 1, 1, N, uptL[i][j].first, uptL[i][j].second );
n = qry[i].size();
rep( j, 0, n - 1 ) {
int cur = qry[i][j];
ans[cur] = Max( ans[cur], Query( 1, 1, N, i, qR[cur] ) );
}
}
Build( 1, 1, N );
rep( i, 1, N ) {
int n = uptR[i].size();
rep( j, 0, n - 1 )
Update( 1, 1, N, uptR[i][j].first, uptR[i][j].second );
n = qry[i].size();
rep( j, 0, n - 1 ) {
int cur = qry[i][j];
ans[cur] = Max( ans[cur], Query( 1, 1, N, i, qR[cur] ) - i + 1 );
}
}
rep( i, 1, Q ) write( bsc[i] - ans[i] ), putchar( '\n' );
return 0;
}
标签：le,const,int,ed,UR,fa,分组,20,mx 来源： https://www.cnblogs.com/crashed/p/16273516.html
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