ICode9

精准搜索请尝试: 精确搜索
首页 > 其他分享> 文章详细

SG和的证明

2022-05-14 17:01:46  阅读:6  来源: 互联网

标签:定义 exists 证明 oplus SG mex


SG和的证明

原证明方法存在缺陷,这里使用另一种更完全的证明方法。
简介:主要利用SG函数和mex函数的定义和推论进行证明。


原定义有关SG和的定义不完全,这里进一步进行如下定义:
SG和的基本定义1:当对任意子游戏操作时,不对其他任意子游戏状态产生影响,即称为相互独立的子游戏。
SG和的基本定义2:整体状态\(G=<g_{k_1},g_{k_2},...,g_{k_n}>\)。
SG和的基本定义3:当子游戏\(k_i\)状态为\(g_{k_i}\)时,操作集合为\(f_{k_i}\),其后继状态集合为\(h_{k_i}\)。
SG和的基本定义4:当整体状态为\(G\)时,操作集合\(F=\cup_{i=1}^{n}{f_{k_i}}\),其后继状态集合\(H=\{h|h=<g_{k_1},g_{k_2},...,g_{k_{i-1}},h_{{k_i}j},g_{k_{i+1}},...,g_{k_n}>,h_{{k_i}j}\in h_{k_i},1\le i\le n\}\)


使用数学归纳法证明:\(SG(G)=\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})}\)。
显然\(\forall i,SG(g_{k_i})=0\)时\(SG(G)=\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})}=0\)。
假设\(SG(h)=(\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus g_{k_i}\oplus h_{{k_i}j},h\in H\)。
证明\(SG(G)=\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})}\)成立。
1)由SG函数定义得\(SG(G)=mex(SG(H))=mex({SG(h)|h\in H})=mex({(\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus g_{k_i}\oplus h_{{k_i}j}|h\in H})\)
2)由SG推论1得\((\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus g_{k_i}\oplus h_{{k_i}j}\neq (\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\)
即证:\(\forall m,m<(\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})}),m\in N^0\),一定\(\exists i,j\),使得\((\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus g_{k_i}\oplus h_{{k_i}j}=m\)。
1)由异或变换引理2得\(\exists b\in N^+\),使得\(m=(\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\oplus b\),并且\((\oplus_{i=1}^{n}{SG(g_{k_i})})\)二进制第\(u\)位一定为1。其中\(u\)为\(b\)二进制最高位所在位数。
2)可得\(\exists i,g_{k_i}\)第\(u\)位为1。\(g_{k_i}\oplus b<g_{k_i}\)。
3)由SG推论1得\(\exists j,h_{{k_i}j}=g_{k_i}\oplus b\)
4)综上得证。

标签:定义,exists,证明,oplus,SG,mex
来源: https://www.cnblogs.com/AIM2019/p/16270646.html

专注分享技术,共同学习,共同进步。侵权联系[admin#icode9.com]

Copyright (C)ICode9.com, All Rights Reserved.

ICode9版权所有