标签:外接圆 frac 个点 sum 0.5 笔记 学习 几何 aligned
Post time: 2022-02-06 11:59:16
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震惊我一年的随机增量法……
定理 1:如果第 \(i\) 个点不在前 \(i-1\) 个点的最小圆覆盖 \(C\) 中,那么这个点一定在前 \(i\) 个点的最小圆覆盖上。
根据这个定理我们有了这样一个做法:
圆 C;
for(i=1 to n)
{
if(P[i] 不在 C 内)
{
C = {P[i], 0};
for(j=1 to i-1)
{
if(P[j] 不在 C 内)
{
C = {0.5*(P[i]+P[j]), 0.5*dist(P[i], P[j])};
for(k=1 to j-1)
{
if(P[k] 不在 C 内)
{
C = 外接圆(P[i], P[j], P[k]);
}
}
}
}
}
}
求外接圆可以直接求两边中垂线的交点。
考虑一下这个做法的复杂度:
由于最终只有 \(3\) 个点确定一个圆,因此每个点确定这个圆的概率只有 \(\frac{3}{n}\),所以每一层循环在第 \(i\) 个位置调用下一层的概率最多 \(\frac{3}{i}\),可得
\[\begin{aligned} T_1(n)&=O(n)+\sum_{i=1}^n\frac{3}{i}T_2(i)\\ T_2(n)&=O(n)+\sum_{i=1}^n\frac{3}{i}T_3(i)\\ T_3(n)&=O(n) \end{aligned} \]可以解得 \(T_1(n)=T_2(n)=T_3(n)=O(n)\)。
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