标签:ll 题解 P5686 times MAXN freopen 和积 柿子 sum
PART 1: 题目大意
设 $s(l,r) = \sum_{i = l}^{r} a_i \times b_i$,求 $\sum_{l=1}{n}\sum_{r=1}{n} s(l,r)$
PART 2:解题思路
从数据范围可以看出来,这是一道思维题,我没需要把体面给出的柿子通过转化使其复杂度下降。从数据范围看出,这里需要时间复杂度大约 $O(n)$。
不妨先把题目给的柿子拆开来看是否存在规律:
$$ans = a_1 \times (\sum_{i = 1}^{n} b_i + \sum_{i = 1}^{n-1} b_i + \sum_{i = 1}^{n-2} b_i …… \sum_{i = 1}^{1} b_i) \+ a_2 \times (\sum_{i = 1}^{n} b_i + \sum_{i = 1}^{n-1} b_i + \sum_{i = 1}^{n-2} b_i …… \sum_{i = 1}^{2} b_i+\sum_{i = 2}^{n} b_i + \sum_{i = 2}^{n-1} b_i + \sum_{i = 2}^{n-2} b_i …… \sum_{i = 2}^{2} b_i) \ …… $$
设 $a_m$ 对应的括号中的柿子为 $f(m)$,则:
$$f(m) = \sum_{i = 1}^{n} b_i + \sum_{i = 1}^{n-1} b_i + \sum_{i = 1}^{n-2} b_i …… \sum_{i = 1}^{m} b_i\+\sum_{i = 2}^{n} b_i + \sum_{i = 2}^{n-1} b_i + \sum_{i = 2}^{n-2} b_i …… \sum_{i = 2}^{m} b_i \ ……\+\sum_{i = m}^{n} b_i + \sum_{i = m}^{n-1} b_i + \sum_{i = m}^{n-2} b_i …… \sum_{i = m}^{m} b_i$$
这样看上去貌似没有什么规律,我们举两个例子来看
$$f(1) = \sum_{i = 1}^{n} b_i + \sum_{i = 1}^{n-1} b_i + \sum_{i = 1}^{n-2} b_i …… \sum_{i = 1}^{1} b_i = \sum_{i = 1}^n b_i \times (n-i+1)$$
$$f(2) = \sum_{i = 1}^{n} b_i + \sum_{i = 1}^{n-1} b_i + \sum_{i = 1}^{n-2} b_i …… \sum_{i = 1}^{2} b_i+\sum_{i = 2}^{n} b_i + \sum_{i = 2}^{n-1} b_i + \sum_{i = 2}^{n-2} b_i …… \sum_{i = 2}^{2} b_i \= \sum_{i = 1}^n b_i \times (n-i+1) - b_1 + \sum_{i = 2}^n b_i \times (n-i+1)$$
$$……$$
感觉他们都有很相似的 $\sum_{i = k}^n b_i \times (n-i+1)$ 这部分,不妨设 $sum = \sum_{i = 1}^n b_i \times (n-i+1)$,再用 $sum$ 将其替换,那么会得到:
$$f(1) = sum$$
$$f(2) = 2sum - (n+1) b_1$$
$$f(3) = 3sum - 2(n+1)b_1-(n-1)b_2$$
以此类推,那么得到:
$$f(m) = m\times sum - \sum_{i=1}^{m-1}(n+1)b_1\times (m-i)$$
这样的柿子是 $O(n^2)$ 的,于是我们就拿到了 $70pts$ 的分数,代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 500010
#define MOD 1000000007ll
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll a[MAXN],b[MAXN],sum,ans;
int main(){
// freopen("sum.in","r",stdin);
// freopen("sum.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",&a[i]), a[i] %= MOD;
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",&b[i]), b[i] %= MOD;
for(int i = 1;i <= n;i++) sum += (n-i+1) * b[i], sum %= MOD;
for(int i = 1;i <= n;i++){
ll tmp = ( sum * i ) % MOD;
for(int j = 1;j < i;j++) tmp = ( tmp - ( ( ( ( b[j] * (n+1) ) % MOD ) * (i-j) ) % MOD ) + MOD ) % MOD;
ans = ( ans + tmp * a[i] ) % MOD;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
那么如何才能拿到满分呢?考虑把刚刚推出来的柿子进一步优化。观察发现,将柿子中的求和项裂开来,得到:
$$f(m) = m \times sum - (n+1)(m\sum_{i=1}^{m-1}b_i - \sum_{i = 1}^{m - 1} b_i \times i)$$
可以预处理出 $b_i$ 以及 $b_i \times i$ 的前缀和,将柿子优化到 $O(n)$,于是得到了 $Accepted$ 的代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 500010
#define MOD 1000000007ll
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll sum,ans;
ll a[MAXN],b[MAXN],sum_b[MAXN],sum_mult_b[MAXN];
int main(){
// freopen("sum.in","r",stdin);
// freopen("sum.out","w",stdout);
scanf("%lld",&n);
for(ll i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",&a[i]), a[i] %= MOD;
for(ll i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",&b[i]), b[i] %= MOD;
for(ll i = 1;i <= n;i++){
sum_b[i] = (sum_b[i-1] + b[i]) % MOD;
sum_mult_b[i] = (sum_mult_b[i-1] + (b[i] * i) % MOD) % MOD;
}
for(ll i = 1;i <= n;i++) sum += (n-i+1) * b[i], sum %= MOD;
for(ll i = 1;i <= n;i++){
ll tmp = ( (sum * i) % MOD - ( (n+1) * ((( i * sum_b[i-1] ) % MOD - sum_mult_b[i-1] + MOD) % MOD + MOD) % MOD ) % MOD + MOD ) % MOD;
ans = ( ans + ( tmp * a[i] ) % MOD ) % MOD;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
标签:ll,题解,P5686,times,MAXN,freopen,和积,柿子,sum 来源: https://www.cnblogs.com/Elfin-Xiao/p/16213502.html
本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享; 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除; 5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。