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6 二次型\(\cdot\)矩阵的合同

6.1 二次型及其标准形

1、定义1：数域K上一个n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式，它的一般形式是

\[\begin{aligned} &f(x_1,x_2,\dots,x_n)=&a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n&\\ &&+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n&\\ &&+\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad&\\ &&+a_{nn}x_n^2 \end{aligned}\tag{1} \]

(1)式也可以写成

\[f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j,\tag{2} \]

其中\(a_{ij}=a_{ji},1\leqslant i,j\leqslant n\)。把（2）式中的系数按原来顺序排成一个n级矩阵A：

\[A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix},\tag{3} \]

则称A是二次型\(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)的矩阵，它是对称矩阵。显然二次型\(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)的矩阵是唯一的。令

\[X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix},\tag{4} \]

则二次型（1）可写成

\[f(x_1,x_2,\dots,x_n)=X'AX,\tag{5} \]

其中A是二次型\(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)的矩阵。

令\(Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)'\)，设C是数域K上的n级可逆矩阵，则关系式

\[X=CY\tag{6} \]

称为变量\(x_1,x_2,\dots,x_n\)到变量\(y_1,y_2,\cdots,y_n\)的一个非退化线性变换。

2、定义2：数域K上两个n元二次型\(X'AX与Y'BY\)，如果存在一个非退化线性变换\(X=CY\)，把\(X'AX变成Y'BY\)，那么称二次型\(X'AX与Y'BY\)等价，记作：\(X'AX\cong Y'BY\)。

3、定义3：数域K上两个n级矩阵A与B，如果存在K上一个n级可逆矩阵C，使得

\[C'AC=B,\tag{7} \]

那么称A与B合同，记作：\(A\backsimeq B\)。

4、命题1：数域K上两个n元二次型\(X'AX与Y'BY\)等价当且仅当n级对称矩阵A与B合同。

5、合同关系下，A的等价类称为A的合同类。

6、如果二次型\(X'AX\)等价于一个只含平方项的二次型，那么这个只含平方项的二次型称为\(X'AX\)的一个标准形。

7、如果对称矩阵A合同于一个对角矩阵，那么这个对角矩阵称为A的一个合同标准形。

8、命题2：实数域上n元二次型\(X'AX\)有一个标准形为

\[\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2,\tag{8} \]

其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)是A的全部特征值。

9、如果T是正交矩阵，那么变量的替换\(X=TX\)称为正交替换。

10、引理1：设A、B都是数域K上n级矩阵，则A合同于B当且仅当A经过一系类成对初等行、列变换可以变成B，此时对\(I\)只作其中的初等列变换得到的可逆矩阵C，就使得\(C'AC=B\)。

定理1：数域K上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵。

11、定理2：数域K上任一n元二次型都等价于一个只含平方项的二次型。

命题3：数域K上n元二次型\(X'AX\)的任一标准形中，系数不为0的平方项个数等于它的矩阵A的秩，这个秩也称为二次型\(X'AX\)的秩。

6.2 实二次型的规范型

n元二次型\(X'AX\)经过一个适当的非退化线性替换\(X=CY\)可以化成下述形式的标准形：

\[d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2,\tag{1} \]

其中\(d_i>0,i=1,2,\cdots,r\)。易知这个二次型的秩为r。再作一个非退化线性替换：

\[\begin{aligned} y_i&=\frac 1 {\sqrt{d_i}}z_i,\qquad i=1,2,\cdots,r.\\ y_j&=z_j,\qquad j=r+1,\cdots,n. \end{aligned}\tag{2} \]

则二次型（1）可变成

\[z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2.\tag{3} \]

因此二次型\(X'AX\)有形如（2）式的一个标准形，称它为二次型\(X'AX\)的规范形，它的特征是：只含平方项，且平方项的系数为1.-1或0；系数为1的平方项都在前面。实二次型\(X'AX\)的规范形（2）被两个自然数p和r决定。

若\(X'AX\)为复二次型，由于复数域负数可开根号，在经过形如（2）式的非线性退化过程可消去每项的正负性，从而得到下述形式标准形：

\[z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2.\tag{4} \]

把这个标准形叫做复二次型\(X'AX\)的规范形。它的特征是：只含平方项，且平方项的系数为1或0.显然，复二次型\(X'AX\)的规范形完全由它的秩决定。

1、定理1（惯性定理）：n元实二次型\(X'AX\)的规范形是唯一的。

2、定义1：在实二次型\(X'AX\)的规范形中，系数为+1的平方项个数为p称为\(X'AX\)的正惯性指数，系数为-1的平方项个数r-1称为\(X'AX\)的负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数所得的差2p-r称为\(X'AX\)的符号差。

命题1：两个n元实二次型等价

\[\begin{aligned} \iff&它们的规范形相同\\ \iff&它们的秩相等，并且正惯性指数也相等。 \end{aligned} \]

推论1：任一n级实对称矩阵A合同于对角矩阵\(diag\{1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0\}\)，其中1的个数等于\(X'AX\)的正惯性指数，-1的个数等于\(X'AX\)的负惯性指数（分别把它们称为A的正惯性指数和负惯性指数），这个对角矩阵称为A的合同规范形。

推论2：两个n级实对称矩阵合同等价于：它们的秩相等，并且正惯性指数也相等。秩和正惯性指数是合同关系下的一组完全不变量。

3、定理2：复二次型\(X'AX\)的规范形是唯一的。

命题2：两个n元复二次型等价

\[\begin{aligned} \iff&它们的规范形相同\\ \iff&它们的秩相等。 \end{aligned} \]

推论3：任一n级复对称矩阵A合同于对角阵：

\[\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0 \end{pmatrix}, \]

其中r=rank(A)。

推论4：两个n级复对称矩阵合同等价于：它们的秩相等。

6.3 正定二次型与正定矩阵

1、定义1：实二次型\(X'AX\)称为正定的，如果对于\(R^n\)中任意非零列向量\(\alpha\)，都有\(\alpha 'A\alpha>0\)。

2、定理1：n元实二次型\(X'AX\)是正定的当且仅当它的正惯性指数等于n。

推论1：n元实二次型\(X'AX\)​是正定的

\[\begin{aligned} \iff&它的规范形为：y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\\ \iff&它的标准形中n个系数全大于0 \end{aligned} \]

3、定义2：实对称矩阵A称为正定的，如果实二次型\(X'AX\)是正定的。即对于\(R^n\)中任意非零列向量\(\alpha\)，有\(\alpha 'A\alpha>0\)。

4、定理2：n级实对称矩阵A是正定的

\[\begin{aligned} \iff&A的正惯性指数等于n\\ \iff&A\backsimeq I\\ \iff&A的合同标准形中主对角元全大于0\\ \iff&A的特征值全大于0 \end{aligned} \]

推论2：与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。

推论3：与正定二次型等价的实二次型也是正定的，从而非退化线性替换不改变实二次型的正定性。

推论4：正定矩阵的行列式大于0.

5、定理3：实对称矩阵A是正定的充分必要条件是：A的所有顺序主子式全大于0。

推论5：实二次型\(X'AX\)是正定的充分必要条件是：A的所有顺序主子式全大于0。

6、定义3：n元实二次型\(X'AX\)称为是半正定（负定，半负定）的，如果对于\(R^n\)中任意非零列向量\(\alpha\)，有

\[\alpha 'A\alpha\geqslant0(\alpha 'A\alpha<0,\alpha 'A\alpha\leqslant0) \]

如果\(X'AX\)既不是半正定的，又不是半负定的，那么称它是不定的。

定义4：实对称矩阵A称为半正定（负定，半负定，不定）的，如果实二次型\(X'AX\)是半正定（负定，半负定，不定）的。

7、定理4：

\[\begin{aligned} &(1)n元实二次型X'AX是半正定的\\ \iff &(2)它的正惯性指数等于它的秩\\ \iff&(3)它的规范形是y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2(0\leqslant r\leqslant n)\\ \iff&(4)它的标准形中n个系数全非负。 \end{aligned} \]

推论6：

\[\begin{aligned} &实对称矩阵A是半正定的\\ \iff&A\backsimeq \begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}，其中r=rank(A)\\ \iff&A的合同标准形中n个系数全非负\\ \iff&A的特征值全非负。 \end{aligned} \]

8、定理5：实对称矩阵A是半正定的当且仅当A的所有主子式全非负。

9、定理6：实对称矩阵A负定的充分必要条件是：它的奇数阶顺序主子式全小于0，偶数阶顺序主子式全大于0。

10、何塞矩阵（略）。

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