标签：log 多项式 之积 LGP8290 一段 prod mod

场外选手再次口胡

这种东西如果是链就很好做，并且有链的部分分。。。那么就照着这个方向想想吧。

考虑计算对于一个序列，全部都被填了数字的方案数。

容易发现枚举最大值有很简单的 \(O(nK)\) 做法：

\[\sum_{x=0}^{\infty}\prod_{i=1}^{n}(\min(x+K,r_i)-\max(x,l_i))-\prod_{i=1}^{n}(\min(x+K-1,r_i)-\max(x,l_i)) \]

两部分差的不多，所以只用考虑一边。

并且容易发现这个是点权的 \(0\) 次和，所以先暂且不考虑 \(1\) 次和，做法可以凭感觉确定是类似的（

容易发现，可以把 \(l_i\) 和 \(r_i\) 分成四类贡献。

然后，我们将所有的 \(l_i,r_i,l_i+K,r_i+K,l_i-K,r_i-K\) 全部拉出来排序，每个 \(x\) 能够对应排序后的一段。然后容易发现，一段对一个节点的贡献是固定的。

也就是说，如果 \(x\) 在离散化后的某个区间上，那么一个节点对其的贡献一定是一个和 \(x\) 有关的一次多项式。

于是我们枚举 \(x\) 在哪一段，问题就变成了先对每一段计算多项式，然后计算 一棵树上所有路径的多项式之积之和。

这种典中典问题当然是用点分治最好。。。但是模数不是 \(998244353\)。

考虑 NTT 的本质是插值。于是我们就插值。可以知道答案多项式一定是 \(O(n)\) 次的，于是代入 \(O(n)\) 跑一遍拉插就行了。

一棵树上所有路径的点权之积之和，这种典中典问题可以 DP \(O(n+\log mod)\) 解决掉。

复杂度 \(O(n^3+n^2\log mod)\)。

标签：log,多项式,之积,LGP8290,一段,prod,mod
来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/16167038.html

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