标签：frac 斯特林 sum times int brack 分拆 brace
上升幂与下降幂
- 上升幂：\(x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)\)
- 下降幂：\(x^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-n)!}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)\)
第一类斯特林数(无符号)
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定义：第一类斯特林数（斯特林轮换数）\(n\brack k\)，也可记做\(s(n,k)\) ，表示将\(n\)个两两不同的元素，划分为\(k\)个互不区分的非空轮换的方案数。一个轮换就是一个首尾相接的环形排列。我们可以写出一个轮换\([A,B,C,D]\) ，并且我们认为\([A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D,A,B,C]\) ，即，两个可以通过旋转而互相得到的轮换是等价的。注意，我们不认为两个可以通过翻转而相互得到的轮换等价，即\([A,B,C,D]\neq [D,C,B,A]\) 。(另一种理解：将 \(n\) 个元素，划分为 \(k\) 个圆排列的方案数)
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递推式：\({n\brack k}={n-1\brack k-1}+(n-1){n-1 \brack k}\)。边界\({n\brack 0}=[n=0]\)
组合意义：将该新元素置于一个单独的轮换中，共有\({n-1\brack k-1}\)中方案；将该元素插入到任何一个现有的轮换中，共有\((n-1){n-1 \brack k}\)种方案。
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性质
\(\sum_{k=0}^n{n\brack k}=n!\)
\({n\brack n-1}=\binom{n}{2}\)
\({n\brack 2}=(n-1)!\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\)
\({n\brack 1}=(n-1)!\)
生成函数(同行) 上升幂：\(F_n(x)=x^{\overline{n}}=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\prod_{i=0}^n{n\brack i}x^i\)
\(O(nlogn)\)
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
//freopen("gen.in","r",stdin);
Poly::init(19);
auto CDQ=[&](auto self,int l,int r)->Poly::poly{
if(l==r) return Poly::poly({l,1});
int mid=l+r>>1;
return Poly::poly_mul(self(self,l,mid),self(self,mid+1,r));
};
int n;
cin>>n;
Poly::poly F=CDQ(CDQ,0,n-1);
for(int i=0;i<=n;i++) cout<<F[i]<<" ";
return 0;
}
生成函数(同列)：\(F(x)=\sum_{i=1}^n\frac{(i-1)!x^i}{i!}=\sum_{i=1}^n\frac{x^i}{i}=\sum_{i=1}^n{i \brack k}x^i\)
第二类斯特林数(无符号)
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定义：第二类斯特林数（斯特林子集数）\(n \brace k\)，也可记做\(S(n,k)\) ，表示将\(n\)个两两不同的元素，划分为\(k\) 个互不区分的非空子集的方案数
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递推式：\({n\brace k}={n-1\brace k-1}+k{n-1\brace k}\)
组合意义：插入一个新元素时，可以将这个元素单独放入一个子集，也可以将这个元素放入现有的一个非空子集
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通项公式：\({n\brace m}=\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!}\)
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性质
\(\sum_{k=0}^n{n\brace k}=B_n\)，\(B_n\)为贝尔数
\(n^k=\sum_{i=1}^k{k\brace i}\times i!\times \binom{n}{i}=\sum_{i=1}^k{k\brace i}\times n^{\underline{i}}\)，这个可以用来求自然数数幂和：\(\sum_{i=1}^n i^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k{k\brace j}\times j!\times \binom{i}{j}=\sum_{j=0}^k{k\brace j}\times j!\sum_{i=1}^n\binom{i}{j}=\sum_{j=0}^k{k\brace j}\times j!\times \binom{n+1}{j+1}=\sum_{j=0}^k{k\brace j}\frac{(n+1)^{\underline{j+1}}}{(j+1)!}\)
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同一行第二类斯特林数通项公式计算\(O(nlogn)\)
int main() {
scanf("%d", &n);
poly f(n + 1), g(n + 1);
for (int i = 0; i <= n; ++i)
g[i] = (i & 1 ? mod - 1ll : 1ll) * infac[i] % mod,
f[i] = 1ll * qpow(i, n) * infac[i] % mod;
poly F=poly_mul(f,g);
F.resize(n + 1);
for (int i = 0; i <= n; ++i)
printf("%d ", F[i]);
return 0;
}
分拆数
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定义：将正整数\(n\)进行整数拆分的方案数
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求法：
- 完全背包，把数字\(1-n\)看做价值为\(1\)，容量为\(i\)的物品，进行完全背包
- 五边形定理
#include <stdio.h> long long a[100010]; long long p[50005]; int main() { p[0] = 1; p[1] = 1; p[2] = 2; int i; for (i = 1; i < 50005;i++) /*递推式系数1,2,5,7,12,15,22,26...i*(3*i-1)/2,i*(3*i+1)/2*/ { a[2 * i] = i * (i * 3 - 1) / 2; /*五边形数为1,5,12,22...i*(3*i-1)/2*/ a[2 * i + 1] = i * (i * 3 + 1) / 2; } for ( i = 3; i < 50005; i++) /*p[n]=p[n-1]+p[n-2]-p[n-5]-p[n-7]+p[12]+p[15]-...+p[n-i*[3i-1]/2]+p[n-i*[3i+1]/2]*/ { p[i] = 0; int j; for (j = 2; a[j] <= i; j++) /*有可能为负数,式中加1000007*/ { if (j & 2) { p[i] = (p[i] + p[i - a[j]] + 1000007) % 1000007; } else { p[i] = (p[i] - p[i - a[j]] + 1000007) % 1000007; } } } int n; while (~scanf("%d", &n)) { printf("%lld\n", p[n]); } }
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\(k\)个部分的分拆，记作\(p(n,k)\)
\(p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)\)
例题
2021CCPC Guangzhou A
参考：OIWiki
标签：frac,斯特林,sum,times,int,brack,分拆,brace 来源： https://www.cnblogs.com/Arashimu0x7f/p/16151706.html
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