标签：负环 正环 不等式 1170 短路 排队 距离 a1 AcWing
一、题目分析
本题同样是差分约束的问题，要求\(1\)到\(n\)之间可能的最大的距离，这使得我们更加深刻的理解了差分约束的思想。
在\(AcWing\) \(1169\) 糖果里，仔细的讲解了差分约束的基本思想，以及求不等式组的最大解需要求最短路，求最小解需要求最长路，这里不等式解的最大最小都是相对而言的。比如\(a_2 <= a_1 + 1,a_3 <= a_2 + 1\)，求最短路和最长路的建图如下图所示：
对于最短路而言，设起点\(a_1 = 0\)，求得\(a_2\)的最大值是\(1\)，\(a_3\)的最大值是\(2\)；对于最长路而言，设\(a_3 = 0\)，则\(a_2\)的最小值是\(-1\)，\(a_1\)的最小值是\(-2\)，所以所谓的最值都是相对的，本题求\(1\)到\(n\)之间的最大距离很能够体现这种相对的关系。
下面梳理下已知的结论：对于同一个不等式组，最短路和最长路建图是完全不同的，边的大小互为相反数，方向相反，如果不等式组无解，即没有合法的一组解使得所有的不等式都成立，那么建立的最短路图中一定存在负环，建立的最长路的图中一定存在正环。如果不等式组有解，最短路求得的是最大解，最长路求得的是最小解。
要求1到n之间的距离，不妨设1号点的坐标就是0，从0出发到达终点n，要想距离最大，则n号点的解就要最大，所以需要求最短路。当然如果将n的坐标设置为0，也可以通过求最长路来使得1到n之间的距离最大。本题的约束条件有三个，ai-1 <= ai；ai - aj <= L；ai - aj >= D。暂且不去分析具体的约束条件，先讨论一个问题，什么情况下起点到终点的距离可以无限大。关于这个问题，很多博客仅仅给出了必要条件，比如说从起点到达不了终点，图中的两点间没有可达的路径，没有约束距离就无限大，但这仅仅是必要条件而非充分条件。比如下面的不等式组：a1 <= a2 - 1，a2 <= a3 - 1，最短路建图如下：
从a3是可以到达a1的，图中没有孤立的点，a3 = 0时，a1就可以无限小，他们的距离就无限大。这个简单的例子可以看出，差分约束的不等式组对应的图如果没有环，起点和终点的距离是可以无限大的。要想两点间距离有限，需要图中有一个适当的环，来约束解的范围。上图的不等式组可以推出a1 <= a3 - 2，那么我再加上一个不等式约束a1 >= a3 - 4,，就成功的将a1到a3之间的距离限制在4个单位以内了。对应图中的表现不过是a1到a3连一条边权为4的边，我们分析此时环的长度4 - 1 - 1 = 2是大于0的。所以我们可以得出下面的结论：最短路的图中如果存在负环，差分约束问题无合法解，如果存在正环，则正环上任意两点间的距离都是有限的，不存在环的图上任意两点间的距离都可以是无限大的。这个结论可以类比到最长路的图中。换一种表达形式的话就是如果要图中的两点间距离有限，只需要存在一个正环，且这两个点都在环上。那么本题我们是否需要判断了负环还要判断正环呢？实际上是不需要的。
第一个约束条件ai >= ai-1，构建的最短路图中an可以到达an-1,an-1可以到达an-2,...。所以an可以到达每一点，包括a1。我们先以an为起点，求一遍最短路，如果存在负环，则不等式组无解，如果不存在负环，那么不等式组肯定有解，下面要判断的就是an - a1的结果是否可以无限大。在确定了不等式组有解的情况下，我们以a1为起点再求一遍最短路，当然a1不一定能够到达每一点，如果a1到达不了an，说明不存在一个环，环上同时包含a1到an。如果a1出发可以到达an，则一定存在由a1、an构成的正环。从ai出发可以到达an，an出发可以到达a1，这个条件保证了环的存在。第一次以an为起点求最短路时不存在负环，说明这个环一定不是负环，那么就是正环了（即使环的长度为0也是有解的）。根据我们上一段推出的结论可知，此时a1和an之间的距离是有限的，并且第二次求最短路过程中a1是起点，求得的an是最大值，所以此时的an就是我们要求的最大距离了。
最后再总结下本题给我们的经验（仅仅是个人经验总结）。最短路存在负环，差分约束问题无解，最短路存在正环，环上任意两点之间距离有限，最短路不存在环，任意两点间距离可以是无穷大；最长路存在正环，差分约束问题无解，最长路存在负环，环上任意两点之间距离有限，最长路不存在环，任意两点间距离可以是无穷大。总的代码如下：
标签：负环,正环,不等式,1170,短路,排队,距离,a1,AcWing 来源： https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16062356.html
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