标签：方案 le dbinom 题解 467 计数 mathcal 2n 障碍

Description

对有 \(m\) 个坏点的 \(n\times n\) 网格，只能往右或者往下走，计算从 \((1,1)\) 到 \((n,n)\) 的方案数。

限制：\(1\le n\le 10^6\)，\(1\le m\le 3000\)。

Solution

首先考虑到如果没有障碍点的存在，\((x_i,y_i)\) 到 \((x_j,y_j)\) 的方案数为 \(\dbinom{x_j-x_i+y_j-y_i}{x_j-x_i}\)（考虑什么时候往右走）。

所以从 \((1,1)\) 到 \((x,y)\) 的方案数实际上是 \(\dbinom{x+y-2}{x-1}\)。

由于 \(n\) 过大，所以我们考虑在两个障碍点之间转移：设 \(f_i\) 为经过第 \(i\) 个障碍点所到达终点的方案数，我们将其分为两部分考虑，即 \((1,1)\to(x_i,y_i)\) 以及 \((x_i,y_i)\to (n,n)\)。由乘法原理可得方案数为 \(\dbinom{x_i+y_i-2}{x_i-1}\times \dbinom{2n-x_i-y_i}{n-x_i}\)，但是这样会产生重复计数，即经过两个障碍点之间的路径被重复计数了。于是我们考虑容斥。

重新设 \(f_i\) 为不经过别的障碍点第 \(i\) 个障碍点的方案数，那么答案显然为

\[\dbinom{2n-2}{n-1}-\sum_{i=1}^m f_i\cdot\dbinom{2n-x_i-y_i}{n-x_i} \]

而 \(f\) 可以通过枚举在其之前的障碍点转移：

\[f_i=\dbinom{x_i+y_i-2}{x_i-1}-\sum_{j=1}^{i-1} f_j\cdot\dbinom{x_i-x_j+y_i-y_j}{x_i-x_j} \]

预处理阶乘及其逆元，可以在 \(\mathcal O(1)\) 的时间内计算组合数，而 \(f\) 的转移是 \(\mathcal O(m^2)\) 的。

故总的时间复杂度是 \(\mathcal O(n+m^2)\)。

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来源： https://www.cnblogs.com/hl-fc/p/15971353.html

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