标签：删除 矩阵 long 舞蹈 算法 gc 精确 DLX define
DLX 是 NOIWC2022 讲的一个算法，然后我一直咕咕咕到了现在。
板子题
题目传送门
题目大意：
给定一个 01 矩阵，在这个矩阵中选出若干行，使得在选出的行中，每一列恰好有 \(1\) 个 \(1\)。
矩阵行列 \(N,M\) 范围为 \(N,M\le 500\)，矩阵中 \(1\) 的个数 \(\le 5000\)。
题目解析
其实这就是精确覆盖问题。
精确覆盖的定义是：一个全集 \(S\) 有若干个子集 \(S_1,S_2,\dots,S_n\)，选取其中若干个子集，使得这些集合中出现了 \(S\) 中每个元素各一次。
考虑建模成一个矩阵：设 \(S=\{a_1,a_2,\dots,a_m\}\)每一行代表一个子集，如果这个子集 \(S_i\) 中存在原始 \(a_j\)，那么第 \(i\) 行 \(j\) 列就为 \(1\)，否则为 \(0\)。这样就转化成了前面的板子题。
算法解析
假设 \(N,M\) 同阶。
首先考虑搜索，枚举每一行是否出现，算法复杂度为 \(O\left(2^NN\right)\)，显然会超时。
考虑剪枝，我们发现如果选了第 \(i\) 行，并且这一行中的第 \(j\) 列为 \(1\)，那么第 \(j\) 列为 \(1\) 的所有行都可以不考虑。
这样就可以大致给出算法的主要框架：
- 如果矩阵为空，就找到了答案；如果矩阵有一列全是 \(0\)，那么就说明当前找到的解是错的，返回。
- 找到 \(1\) 的个数最少的一列 \(c\)，并且删除这一列。（这样可以再下一步的枚举中枚举次数尽可能少）
- 枚举第 \(c\) 列中第 \(i\) 行，把第 \(i\) 行计入答案。
- 对与每一个第 \(i\) 行，删除第 \(i\) 行，然后把第 \(i\) 行中为 \(1\) 的列全部删除。
- 递归求解新的矩阵。
- 如果有解就返回并且输出结果，否则第 \(4\) 步恢复删除的行，并且从答案中删除 \(i\)，回到第 \(3\) 步。
- 如果都没有解，恢复第 \(c\) 列，返回。
我们发现，在删除的时候我们可以通过 十字双向循环链表 来做到比较快速和方便的删除。
DLX 的算法复杂度和矩阵中 \(1\) 的个数有关，假设 \(1\) 的个数为 \(n\)，那么算法复杂度为 \(O\left(c^n\right)\)，其中 \(c\) 为一个略大于 \(1\) 的常数。
具体代码实现注意：
- 数组
l,r,u,p,s,row,col分别代表 左边的点、右边的点、上方的点、下方的点、这一列 \(1\) 的个数、这个点所在的行、这个点所在的列。 - 注意十字链表的数组大小要考虑加上链表头的点。
代码：
#include<cstdio>
#define db double
#define gc getchar
#define pc putchar
#define U unsigned
#define ll long long
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define Tp template<typename _T>
#define Me(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
Tp _T mabs(_T a){ return a>0?a:-a; }
Tp _T mmax(_T a,_T b){ return a>b?a:b; }
Tp _T mmin(_T a,_T b){ return a<b?a:b; }
Tp void mswap(_T &a,_T &b){ _T tmp=a; a=b; b=tmp; return; }
Tp void print(_T x){ if(x<0) pc('-'),x=-x; if(x>9) print(x/10); pc((x%10)+48); return; }
#define EPS (1e-7)
#define INF (0x7fffffff)
#define LL_INF (0x7fffffffffffffff)
#define maxn 5539
#define maxm 539
#define MOD
#define Type int
#ifndef ONLINE_JUDGE
//#define debug
#endif
using namespace std;
Type read(){
char c=gc(); Type s=0; int flag=0;
while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=gc(); if(c=='-') c=gc(),flag=1;
while('0'<=c&&c<='9'){ s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48); c=gc(); }
if(flag) return -s; return s;
}
int n,m,x,ans[maxn],anscnt;
int s[maxm],l[maxn],r[maxn],u[maxn],d[maxn],row[maxn],col[maxn],head,cnt,findans;
void build(){
n=read(); m=read(); int i,j,beg,end; head=findans=0;
for(i=0;i<=m;i++) s[i]=0,l[i]=i-1,r[i]=i+1,u[i]=d[i]=i; l[0]=m; r[m]=0; cnt=m;
for(i=1;i<=n;i++){
beg=end=cnt+1;
for(j=1;j<=m;j++){
x=read(); if(!x) continue;
l[++cnt]=end,r[cnt]=beg,l[beg]=cnt,r[end]=cnt,end=cnt; s[j]++;
d[u[j]]=cnt,u[cnt]=u[j],d[cnt]=j,u[j]=cnt; row[cnt]=i,col[cnt]=j;
}
}
}
void del(int x){
l[r[x]]=l[x],r[l[x]]=r[x]; int i,j;
for(i=d[x];i!=x;i=d[i]) for(j=r[i];j!=i;j=r[j]) u[d[j]]=u[j],d[u[j]]=d[j],s[col[j]]--;
return;
}
void rem(int x){
l[r[x]]=r[l[x]]=x; int i,j;
for(i=u[x];i!=x;i=u[i]) for(j=l[i];j!=i;j=l[j]) u[d[j]]=d[u[j]]=j,s[col[j]]++;
return;
}
void dance(){
if(r[head]==head){ findans=1; return; } int minx=INF,miny,i,j;
for(i=r[head];i!=head;i=r[i]){
if(!s[i]) return;
if(s[i]<minx) minx=s[i],miny=i;
} del(miny);
for(i=d[miny];i!=miny;i=d[i]){
ans[++anscnt]=row[i];
for(j=r[i];j!=i;j=r[j]) del(col[j]);
dance(); if(findans) return; anscnt--;
for(j=l[i];j!=i;j=l[j]) rem(col[j]);
} rem(miny); return;
}
void print(){
if(!findans){ puts("No Solution!"); return; }
int i; for(i=1;i<=anscnt;i++) print(ans[i]),pc(' '); return;
}
int main(){
//freopen("1.in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
build(); dance(); print(); return 0;
}
标签：删除,矩阵,long,舞蹈,算法,gc,精确,DLX,define 来源： https://www.cnblogs.com/jiangtaizhe001/p/15961631.html
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