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线性规划
Introduction
线性规划，粗糙地看来就是对于线性的约束(等、不等)和线性的目标求极值。
可以写成以下形式:
-
标准形
\[\forall i, \sum_{j} a_{i, j}x_{j} \le b_i \\ \forall i, x_i \ge 0 \\ \max \sum_{i} c_ix_i \]亦(向量形式)
\[AX \le B \\ X \ge 0 \\ \max C^{T}X \] -
松弛形
\[AX=B \\ X \ge 0 \\ \max C^{T}X \]关于标准形与松弛形的转化：
\[\sum_{j} a_{i, j}x_{j} \le b_i \\ \Leftrightarrow \sum_{j} a_{i, j}x_{j} + x_{new} = b_i x_{new} \ge 0 \]
对于小于号，添加一个系数为负的自变量，
大于号则系数为正。 -
单纯形
\[\forall i \in [1, m], x_{n+i} = b_i-\sum_{j=1}^{n} a_{i, j}x_j \\ \forall i \in [1, n+m], x_i \ge 0 \\ \max \sum_{j=1}^{n}c_ix_i \]我们称\(x_{1}\)~\(x_{n}\)为非基本变量，\(x_{n+1}\)到\(x_{n+m}\)为基本变量
事实上是松弛形的另一种写法
单纯形法
若\(\forall i,b_i>0\)
我们对于非基本变量全部取0是一个可行解，
当此时\(\forall i, c_i \le 0\)时达到最优，
如果并非最优，我们要更换一组基本变量，
\[x_{n+l} = b_l - \sum_{j=1, j \neq e}^{n}a_{l, j}x_j - a_{l, e}x_e \\ \Rightarrow x_e = \frac{1}{a_{l, e}}(b_l - \sum_{j=1, j \neq e}^{n} a_{l, j}x_j - x_{n+l}) \]方法是选出\(c_e\)最大的非基变量\(x_{e}\)，
用\(a_{l, e} > 0\)且\(\frac{b_l}{a_{l, e}}\)最小的\(x_{n+l}\)替换，
这样可以保证变化后\(b_i \ge 0\),
同时使目标变化最大(\(c_{e}\frac{b_l}{a_{l,e}}\))
上述操作成为转轴
若初始时\(b_i < 0\)，找到一个负的\(a_{i, j}\)对其转轴，
不知道为什么一定会停下来。
对偶
我们有一组线性规划互为对偶:
\[AX \le B \\ X \ge 0 \\ \max C^{T}X \\ \]\[A^{T}Y \ge C \\ Y \ge 0 \\ \min B^{T}Y \]则
\[\max C^{T}X = \min B^{T}Y \]大概长成这样:
| \(x_{1}\) | \(x_{2}\) | \(\cdots\) | \(x_{n}\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_1\) | \(a_{1, 1}\) | \(a_{1, 2}\) | \(\cdots\) | \(a_{1, n}\) | \(b_{1}\) |
| \(y_2\) | \(a_{2, 1}\) | \(a_{2, 2}\) | \(\cdots\) | \(a_{2, n}\) | \(b_{2}\) |
| \(\cdots\) | \(\cdots\) | \(\cdots\) | \(\cdots\) | \(\cdots\) | \(\cdots\) |
| \(y_m\) | \(a_{m, 1}\) | \(a_{m, 2}\) | \(\cdots\) | \(a_{m, n}\) | \(b_{m}\) |
| \(c_{1}\) | \(c_{2}\) | \(\cdots\) | \(c_n\) | \(z\) |
网络流模型
网络流本质也是一类线性规划问题，有部分线性规划问题可以通过网络流解决
流量守恒
对于线性规划问题我们写成松弛形式，
再通过线性变换使得每个变量只出现两次，符号相反，
那么我们将这些变量视为弧，将限制视为点，根据流量守恒构图。
对于区间类问题来说通常有变量连续出现的情况，
那么我们将相邻两个限制相减，
最后新添一条最后限制取反的限制，开头限制不变，
通常可以得到美妙的结果。
对偶
对于费用流，流量为\(f_{u,v}\)，最大流量为\(c_{u,v}\),代价为\(w_{u, v}\)，每个点的流出减去流入\(\le b_{u}\),我们有:
\[\forall u, \sum_{v} f_{v, u} - \sum_{v}f_{u, v} \ge -b_{u} \\ \forall u, v, -f_{u, v} \ge -c_{u, v} \\ \forall u, v, f_{u, v} \ge 0 \\ \min \sum_{u, v} f_{u, v}w_{u, v} \]令对于边的对偶变量为\(z_{u, v}\)，对于点的为\(p_{u}\),对偶得到
\[\forall u, v, p_v - p_u - z_{u, v} \le w_{u, v} \\ \forall u, v, z_{u, v} \ge 0 \\ \forall u, p_u \ge 0 \\ \max \sum_{u} -p_{u}b_{u} - \sum_{u, v} z_{u, v}c_{u, v} \]因为\(c_{u, v} \ge 0\),且\(z_{u, v}\)只有一条限制，我们令其取下界，得\(z_{u, v} = \max(0, p_v - p_u - w_{u, v})\)
\[\max \sum_{u} -p_u b_u - \sum_{u, v} c_{u, v} \max(0, p_v - p_u - w_{u, v}) \\ \Leftrightarrow -\min \sum_{u} p_u b_u + \sum{u, v} c_{u, v} \max(0, p_v - p_u - w_{u, v}) \]对于一个线性规划问题，若能化为上述形式，则必定可以通过费用流解决（只是方案难搞...
我们可以通过在目标式中添加若干\(\infty\)的项来做到加入限制
参考资料
单纯形法学习笔记 by p_b_p_b
《再探线性规划对偶在信息学竞赛中的应用》 - 学习笔记 by p_b_p_b
2021国家集训队论文
标签：线性规划,max,sum,cdots,笔记,学习,ge,forall 来源： https://www.cnblogs.com/BunnyLutts/p/15894956.html
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