首页 > 其他分享> 文章详细

重返现世

2022-01-23 17:01:20 阅读：167 来源： 互联网

标签：begin end limits min sum 重返 pmatrix 现世

重返现世

min-max 容斥，DP

记 \(\min\limits_k\{S\}\) 表示 \(S\) 中出现至少 \(k\) 个元素的期望时间

答案便为 \(\min\limits_{k} \{U\}, U = \{n \cdot 1\}\)

考虑到 \(k\) 很大，而 \(n - k\) 很小，所以转化一下

\(\min\limits_k \{U\} = \max\limits_{n - k + 1} \{U\}\)

记 \(k' = n - k + 1\) 再根据扩展 min-max 容斥，得

\(\max\limits_{k'} \{S\} = \sum\limits_{T \subseteq S} (-1) ^ {|T| - k'} \begin{pmatrix}|T| - 1\\k'- 1\end{pmatrix} \min\{T\}\)

还是根据几何分布，有 \(\min\{T\} = \frac m {\sum_{i\in S} p_i}\)

但这样直接做的时间复杂度是 \(O(2^n)\) 的，考虑换种做法

设 \(f_{i, j,k}\) 表示前 \(i\) 个数中的一些数组成集合 \(S\) ，\(\sum_{i \in S} p_i = j\) 时，\(\sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|T| - k}\begin{pmatrix}|T| - 1\\k - 1\end{pmatrix}\) 的值

考虑第 \(i\) 个数选不选

第 \(i\) 个数不选：\(f_{i, j, k} = f_{i - 1, j, k}\)
第 \(i\) 个数选：

\[\begin{aligned} f_{i, j, k} &= \sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|T| - k} \begin{pmatrix}|T| - 1\\k - 1\end{pmatrix} \\ &= \sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|T| - k} \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}|T| - 1 - 1\\ k - 1 - 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}|T| - 1 - 1\\k - 1\end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{(|T| - 1) - (k - 1)} \begin{pmatrix}(|T| - 1) - 1\\(k - 1) - 1\end{pmatrix} + \sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|T| - k} \begin{pmatrix}|T| - 1 - 1\\k - 1\end{pmatrix} \\ &= f_{i - 1, j - p_i, k - 1} - \sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{(|T| - 1) - k} \begin{pmatrix}(|T| - 1) - 1\\k - 1\end{pmatrix} \\ &= f_{i - 1, j - p_i, k - 1} - f_{i - 1, j - p_i, k} \end{aligned} \]

综上，\(f_{i,j, k} = f_{i - 1, j, k} + f_{i - 1,j - p_i, k - 1} - f_{i - 1, j - p_i, k}\)

当 \(i = 0, j = 0, k = 0\) 时，带入定义式有 \(f_{0, 0, 0} = 0\)

时间复杂度：\(O(n m (n - k + 1))\) ，滚动数组优化后空间复杂度：\(O(m(n - m + 1))\)

#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define int long long
// #define pair pair<int, int>
// #define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout);
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf;
using namespace std;
inline int read()
{
    re int x = 0, f = 0;
    re char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') f = 1; ch = getchar();}
    while (isdigit(ch)) {x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48; ch = getchar();}
    return f ? -x : x;
}
inline string getstr()
{
    string res = "";
    re char ch = getchar();
    while (isspace(ch)) ch = getchar();
    while (!isspace(ch)) res.push_back(ch), ch = getchar();
    return res;
}
const int N = 1e3 + 3, P = 998244353, M = 1e4 + 4;
int n, K, m;
int p[N], f[2][M][12], inv[M];
signed main()
{
    n = read(), K = n + 1 - read(), m = read();
    inv[1] = 1;
    for (re int i = 2; i <= m; ++i) inv[i] = P - P / i * inv[P % i] % P;
    for (re int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = read();
    re bool flag = 1;
    for (re int i = 1; i <= n; ++i, flag ^= 1)
    {
        for (re int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            for (re int k = 1; k <= K; ++k)
            {
                f[flag][j][k] = f[flag ^ 1][j][k];
                if (j < p[i]) continue;
                if (j == p[i] && k == 1) f[flag][j][k]++;
                else
                {
                    f[flag][j][k] = (f[flag][j][k] + f[flag ^ 1][j - p[i]][k - 1] - f[flag ^ 1][j - p[i]][k]) % P;
                    if (f[flag][j][k] < 0) f[flag][j][k] += P;    
                }
            }
        }
    }
    flag ^= 1;
    int ans = 0;
    for (re int i = 1; i <= m; ++i) ans = (ans + f[flag][i][K] * m % P * inv[i] % P) % P;
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}

标签：begin,end,limits,min,sum,重返,pmatrix,现世
来源： https://www.cnblogs.com/After-glow/p/15836751.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

重返现世

重返现世