青蛙的约会

2022-01-21 20:57:59 阅读：113 来源： 互联网

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 A 和青蛙 B ，并且规定纬度线上东经 0 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙 A 的出发点坐标是 x，青蛙 B 的出发点坐标是 y。青蛙 A 一次能跳 m米，青蛙 B 一次能跳 n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长 L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
输入格式
输入只包括一行 5个整数 x,y,m,n,L。
输出格式
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行 Impossible 。
样例
输入
1 2 3 4 5
输出
4
数据范围与提示
对于100%的数据，0<=x,y<210^9,0<m,n<210 ^ 9,0<L<2.1*10 ^9.保证x!=y.
题解：

设时间为t，则两个青蛙的位置分别为(x+mt)mod L、(y+nt) mod L，相遇即是(x+mt)%L=(y+nt)%L。

整理的 (m-n)t+kL=y-x。

现在已经符合ax+by=c的方程了，设a=m-n，b=L，c=y-x

于是拓展gcd

利用扩展欧几里得算法求解不定方程a * x + b * y = n的整数解的求解全过程，步骤如下：
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a’ * x + b’ * y = n’，此时Gcd(a’,b’)=1;
2、利用扩展欧几里德算法求出方程a’ * x + b’ * y = 1的一组整数解x0,y0，则n’ * x0,n’ * y0是方程a’ * x + b’ * y = n’的一组整数解；
3、根据数论中的相关定理，可得方程a’ * x + b’ * y = n’的所有整数解为：
x = n’ * x0 + b’ * t
y = n’ * y0 – a’ * t (t=0,1,2，……)
调整得到正整数解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,y,n,m,l;
ll gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
	if(!b) {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll res=gcd(b,a%b,x,y);
	ll tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-(a/b)*y;
	return res;
}
int main() {
	cin>>x>>y>>m>>n>>l;
	ll a=n-m,c=x-y,b=l,xx,yy;
	if(a<0) {
		c=-c;
		a=-a;
	}
	ll ans=gcd(a,b,xx,yy);
	if(c%ans!=0)
		cout<<"Impossible"<<endl;
	else
		cout<<(c/ans*xx%(b/ans)+b/ans)%(b/ans);
}

标签：方程,Gcd,约会,青蛙,碰面,ll,gcd
来源： https://blog.csdn.net/qq_56866469/article/details/122629061

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