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CINTA作业九：QR

2021-12-19 13:34:37 阅读：173 来源： 互联网

标签：QR QNR 同态定理作业证明 ab CINTA

1、证明命题11.2

证明：

（1）封闭性： $\forall a,b\in\mathbb{Q}\mathbb{R}_{p},(a*b)modp=QR\subseteq \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}$

（2）结合律： $\forall a,b,c\in \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}$ ,有：

$a\equiv {x_{1}}^{2}(mod p),b\equiv {x_{2}}^{2}(mod p),c\equiv {x_{3}}^{2}(mod p)$

$(a*b)*c\equiv (x_{1}^{2}x_{2}^{2})x_{3}^{2}(mod p), a*(b*c)\equiv x_{1}^{2}(x_{2}^{2}x_{3}^{2})(modp)$

$\therefore (a*b)*c=a*(b*c)$

（3）单位元：易得单位元为1

（4）乘法逆元：

由费尔马小定理有
$a^{p-1}\equiv 1(mod p)$
$aa^{-1}\equiv 1(modp)$
$a^{-1}=a^{p-2}$
由封闭性得： $a^{p-2}\in \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}$

2、使用群论的方法证明定理11.1。

证明：

构造一个映射 $\phi$ ： $\mathbb{Z}^{*}_{p}\rightarrow \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p},a\rightarrow a^{2}(mod \; p),\forall a\in \mathbb{Z}_{p}^{*}$

有 $\phi (ab)=(ab)^{2}=a^{2}b^{2}=\phi (a)\phi (b)$

即 $\phi$ 是一种群同态

使K=ker $\phi$ ={1,p-1},有一标准同态 $\psi :\mathbb{Z}_{p}^{*}\rightarrow \mathbb{Z}_{p}^{*}/K$

由第一同构定理得 $|\mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}|=|\mathbb{Z}_{p}^{*}|/|K|=(p-1)/2$

3、

$\psi (ab)=(\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=\psi (a)\circ \psi (b)$

即 $\psi$ 是一种同态

$\because \forall a\in \mathbb{Z}_{p}^{*}$

由定义易知，a为QR，则 $\psi (a)$ =1,a为QNR，则 $\psi (a)$ =-1

所以这是一个满射

所以这是一个群同态

4、设 p 是奇素数，请证明 Z∗p 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余。

5、证明命题11.4

证明：

1、

当a是QR时，有 $a\equiv b\equiv x^{2}(mod\; p)$ ,即b是QR，有 $(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=1$

当a是QNR时， $a\equiv b\equiv x^{2}(mod\; p)$ ，b是QNR， $(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=-1$

综上，证毕
2、

由命题十三有

a、b均为QR时，ab为QR， $(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=1=(\frac{ab}{p})$

a、b其中一个为QR、另一个为QNR时，ab为QNR, $(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=-1*1=-1=(\frac{ab}{p})$

a、b均为QNR时，ab为QR $(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=-1*(-1)=1=(\frac{ab}{p})$

综上，证毕

3、

易知 $a^{2}$ =QR，有 $(\frac{a^{2}}{p})=1$

6、给出推论11.1的完整证明。

当 $p\equiv 1(mod\; 4),\exists k\in \mathbb{Z},p=4k+1$ ,根据欧拉准则有：

$(\frac{-1}{p})\equiv (-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{(4k+1-1)/2}\equiv 1(mod\; p)=1$
当 $p\equiv -1(mod\; 4),\exists k\in \mathbb{Z},p=4k+3$ ，根据欧拉准则有：

$(\frac{-1}{p})\equiv (-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{(4k+3-1)/2}\equiv -1(mod\; p)=-1$

标签：QR,QNR,同态,定理,作业,证明,ab,CINTA
来源： https://blog.csdn.net/N_Feng/article/details/121990157

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