信号的描述
信号的分类
连续信号和随机信号
- 连续时间信号: 在一定的连续的时间范围内，对于任意的时间值，都有对应的函数值简称连续信号.
- 连续指的是时间上的连续,而非曲线取值(值域)的连续.
- 离散时间信号:仅在一些离散的瞬间才有定义的信号(时间上是离散的)
- 通常取等间隔T，表示为f(kT)，简写为f(k).等间隔的离散信号称为序列，其中k称为序号
周期信号和非周期信号
能量信号和功率信号
信号的基本运算
信号的时间变换
- 信号反转
没有实现此功能的实际器件。
- 信号的平移
- 信号展缩
- 注意
- 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意一切变换都是相对t而言的
- 对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错，逆运算则反之
微分和积分
- 这里求微分时的图像需要分开按照每段来看，按照段函数划分。可以从下图看出，有斜率的用线表示。而水平的线用冲击表示，冲击强度为其取值的相反数。另外冲击信号的方向同其线的方向。
- 积分的图可简单看出，其平线表示的是积分后该部分函数的斜率，其起始点则是平线的起始位置。没有点的地方则以水平线表示。
阶跃函数和冲激函数
- 它们是奇异函数。
阶跃函数
阶跃函数图像的变化规则同上面的变化，以t0点作为变化点。
- 阶跃函数的性质
冲激函数
奇异函数。
- 狄拉克定义
- 性质
- 取样性：即其乘以一个冲激，则只有0处有定义。可以直接化简出一个函数。
- 冲激偶
注意其第一个性质，冲激导数与函数乘积的变换。
性质总结：
- 尺度变化
δ(t)与ε(t)的关系
卷积积分
定义
卷积的算法
- 图解法
例：
卷积是两个函数表达式相乘后的积分，各个积分限是各个不同的阶段。如上图选择的就是以f(t)做的平移变换，因为相较而言它简单一些
卷积的性质
- 交换律
- 卷积结果与交换两函数的次序无关，一般选比较简单函数进行反转和平移
- 分配律
并联系统冲激响应等于子系统冲激响应之和
- 结合律
串联系统冲激响应等于子系统冲激响应的卷积
与冲激函数的卷积
-
-
-
-
卷积的时移性
-
与阶跃的卷积
- 例题：
注意方法二中，对于两个一颗皮龙的计算化简
卷积的微积分性质
- 例题
相关函数
定义
实能量有限函数
注意有(互)相关和自相关函数两种之分。
实功率有限信号
- 结论
-
周期信号自相关函数仍为周期信号，且周期相同。
-
自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。
-
余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。
相关与卷积的关系
傅里叶变换和系统的频域分析
信号分解为正交函数
可使用由矢量空间正交分解推广到信号空间的方式
信号正交与正交函数集
完备正交集即包含了所有正交函数。
信号的正交分解
- 帕萨瓦尔公式
傅里叶级数（周期信号）
- 傅里叶级数的三角形式
上图中的f(t)即为傅里叶级数的三角形式。表明周期信号可分解为直流和许多余弦分量。同时，周期信号f(t)还可以分为傅里叶级数的指数形式：如下图:
- 指数形式
Fn称为复傅里叶系数/各频率分量的复数幅度
- 帕萨瓦尔等式
信号频谱
周期信号频谱
- 概念
- 例题
上题中，使用三角公式即是将函数化为余弦形式。通过定义式来求解。
周期信号的定义式：
- 特点
- 周期信号的频谱具有谐波（离散）性，谱线位置是基频的整数倍
- 具有收敛性，总趋势减小
频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围内的信号来表示，此频率范围称为频带宽度
带宽与脉宽成反比
系统的通频带>信号的带宽--->不失真
非周期信号的频谱
傅里叶变换对
f(t)对F的逆傅里叶变换
常用傅里叶变换
sint/t 为抽样函数，即Sa(t)
sgn为符号函数，大于0为1，小于0为-1，0处为0
门函数的写法：套等于门的宽度，t对应的是门的中点
在求傅里叶变换看格式时，可以看它是否是由多个常见格式相乘而得到的。如1/t平方的傅里叶变换，可以先求1/t的变换，1/t的积分则可以得到1/t平方
- 线性
f(t) = f(t1)-f(t2) 则 F(w) = F(w1) + F(w2);
- 对称性(常用)
例题
- 尺度变换性质
特例：当a==-1时，f(-t)其傅里叶变换为F(-jw)
尺度变换的意义
以
为例：
- 0<a<1 时域(t)扩展，频域(w)压缩
- a>1 时域压缩，频域扩展a倍
- a=-1时域反转，频域也反转
时移特性
如一个不在0点处的门函数做傅里叶变换，那么它的值在变换后，还应该加上exp(jwt)
注意尺度变换与时移相结合的变换，变换都是对于t而言的
频移性质
他们的变换可逆。f<->F。
此类例题经常使用他们的反变换。
注意频移和时移的特性
卷积性质
时域微分和积分
微分：
积分：
注意F下标表示的是其中的f导的次数。如F2(jw) = F[f二次导]
频域的微分和积分
帕萨瓦尔关系
能量谱
能量谱为单位频率的信号能量，E(w)
频带df内的信号的能量为E(w)df，总能量为
正余弦的傅里叶变换
上图中的公式常用。
标签：知识点,函数,变换,积分,卷积,信号,傅里叶 来源： https://www.cnblogs.com/waydmt/p/15700154.html
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