标签：limits 门牌号 题解 sum mi dfrac LuoguB2133 neq

Update

• \(\texttt{2021.11.27}\) 修复了代码中的 \(10000\) 写成 \(n\) 的错误。

Content

一个家庭住在一个胡同里面，门牌号从 \(1\) 开始编号。其余门牌号的和减去这个家庭的门牌号的两倍恰好等于 \(n\)，求这个家庭的门牌号和胡同的门牌号总数。

数据范围：\(n<10^5\)。

Solution

如果设胡同的门牌号总数为 \(m\)，并设这个家庭的门牌号为 \(k\)，则由题意可得（其中 \([i\neq k]\) 表示如果 \(i\neq k\)，则这个值为 \(1\)，否则为 \(0\)）：

\[\sum\limits_{i=1}^mi[i\neq k]-2k=n \]

如果我们把这个 \(\sum\limits_{i=1}^mi[i\neq k]\) 转化一下：

\[\begin{aligned}1+2+\dots+k-1+k+1+\dots+m&=1+2+\dots+m-k\\&=\sum\limits_{i=1}^mi-k\end{aligned} \]

所以：

\[\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^mi-k-2k&=n\\3k&=\sum\limits_{i=1}^mi-n\\k&=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^mi-n}{3}\end{aligned} \]

用等差数列求和公式将 \(\sum\limits_{i=1}^mi\) 转化为 \(\dfrac{m(m+1)}2\) 可得：

\[k=\dfrac{\dfrac{m(m+1)}2-n}3 \]

因此，我们可以枚举 \(m\)，然后是否满足以下两个条件：

• \(\dfrac{m(m+1)}2>n\)。
• \(3\mid(\dfrac{m(m+1)}2-n)\)（表示 \(3\) 能整除 \(\dfrac{m(m+1)}2-n\))。

可以发现，一旦满足了以上两个条件，\(m\) 此时的值依然很小，因此这样枚举是可以通过这道题的。

Code

#include <cstdio>
using namespace std;

int main() {
    int n; scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= 10000; ++i) {
        int ans = i * (i + 1) / 2;
        if(ans > n && !((ans - n) % 3)) {printf("%d %d", (ans - n) / 3, i); return 0;}
    }
    return 0;
}

标签：limits,门牌号,题解,sum,mi,dfrac,LuoguB2133,neq
来源： https://www.cnblogs.com/Eason-AC/p/15695484.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。