标签：... 单纯形法 int 定理 矩阵 线性规划 MAXN 对偶
这貌似是运筹学的一个比较有趣的问题类型
不过介于我水平太低（只会背背板子）
在此记录
单纯形法
一般oi中遇到的线性规划问题都长这样
比如某一些网络流问题，以及二分图最大权匹配啥的，结合对偶定理，可以有很多很强的结论
以及一个最小费用流的线性规划式子
现在考虑怎么做这类问题
不妨先引入一个基变量（松弛变量）
比如说现在的系数矩阵是
比如说现在的系数矩阵是
这样可以吧\(x_{i , n + 1}\)的值给去\(x_{i , k}\),这样的操作叫做转轴
之后就可以用这个过程来时目标函数有最大值
有一个例题吧
很容易列出线性规划式子
\[\left\{ \begin{matrix} max:c_1 * x_1 + c_2 * x_2 + ... + c_n *x_n\\ a_{11} * x_1 + a_{12} * x_2 + ... + a_{1n} * x_n <= b_1\\ .\\ .\\ a_{m1} * x_1 + a_{m2} * x_2 + ... + a_{mn} * x_n <= b_m\\ \end{matrix} \right. \]就是一个板子题
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 500
#define eps 1e-7
typedef double ll;
const ll inf = 1e18;
using namespace std;
int n,m;
ll a[MAXN][MAXN];
int id[MAXN];
void out(){
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)printf("%.2f " , a[0][i]);
puts("");
for(int i = 1 ; i <= m ; i++){
for(int j = 1 ; j <= n ; j++){
printf("%.2f " , a[i][j]);
}
printf("%.2f " , a[i][0]);
puts("");
}
}
void plot(int x , int y){
swap(id[x + n] , id[y]);
double t = a[x][y]; a[x][y] = 1;
for(int j = 0 ; j <= n ; j++)a[x][j] /= t;
for(int i = 0 ; i <= m ; i++){
if(i == x || a[i][y] < eps)continue;
t = a[i][y] , a[i][y] = 0;
for(int j = 0 ; j <= n ; j++)a[i][j] -= a[x][j] * t;
}
}
bool simplex(){
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)id[i] = i;
int x = 0, y = 0;
int cnt = 0;
ll minl;
while(1){
x = y = 0 , minl = inf;
cnt++;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)if(a[0][i] > eps){x = i;break;}
if(!x)break;
for(int i = 1 ; i <= m ; i++)if(a[i][x] > eps && minl > a[i][0] / a[i][x])minl = a[i][0] / a[i][x] , y = i;
if(!y) {puts("Unbounded"); return false;}
plot(y , x);
}
return true;
}
int main(){
while(scanf("%d%d",&n,&m) == 2){
memset(a , 0 ,sizeof(a));
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)cin>>a[0][i];
for(int i = 1 ; i <= m ; i++){
for(int j = 1 ; j <= n ; j++)cin>>a[i][j];
cin>>a[i][0];
}
simplex();
printf("Nasa can spend %d taka.\n",(int)ceil(-a[0][0]*m));
}
}
对偶定理
很容易写出线性规划的模型，及其对偶
其系数矩阵为原系数矩阵的转置
原问题有无界解等价于对偶问题无可行解
但是对偶问题无可行解时，原问题可能为无界解或者无可行解
剩下的很多扩展内容可以看这个
https://www.cnblogs.com/TianyiQ/p/linear-programming.html
标签：...,单纯形法,int,定理,矩阵,线性规划,MAXN,对偶 来源： https://www.cnblogs.com/Yeyuqing0913/p/15694502.html
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