1 标准的定义：
【案，一般叉积的定义是行向量，这个和本节里面讨论的列向量的结果是一致的】
1.1 两个向量，他们围成平行四边形的面积就是叉乘的结果：
1.2 考虑叉乘的符号：
v如何在w的右侧，那么为正，否则为负
对于基向量而言，符号的确认也是一样的，
【^i】在【^j】的右侧，所以，为正的。
2 行列式和面积的关系：
2.1 行列式的意义：
(30条消息) 线性代数【16】再从向量空间理解行列式和重要的右手原则_山云的专栏-CSDN博客
2.2 行列式的计算值如何和叉积对应起来：
2.2.1 绝对值：
叉积就是计算这个矩阵的行列式的值：
行列式，我们之前的章节理解为一个线性变化的拉伸程度的衡量值，
现在，我们把向量v、w，看成是单位基向量【^i】和【^j】通过线性变换-移动而来，
用网格表述，就是如下这个图，我们看到单位方格已经转换成了行列式拉伸的平行四边形。
【案，再重申一遍，行列式就是线性变换，前后面积变化比例的度量】
【案，有点啰嗦了，再重申一遍】
也就是这个平行四边形是通过单位向量做行列式决定的拉伸来实现的。
2.2.2 符号：
这里v在w的左侧，所以行列式为负的。
举例：
3 叉积的性质研究：
3.1 叉积的大小和向量的方向性有关：
3.2 放大某一个向量的长度，整个叉乘也放大那个倍数
3.2 叉乘的结果：
叉乘的结果是一个向量，
这个向量定义由：
3.2.1 长度就是行列式的计算结果，那个平行四边形的面积
3.2.2 而方向是垂直于这个平行四边形，
3.2.3 并符合右手原理：
举例：
\
3.3 叉乘通用公式：
【案，理解为三个十字相乘法】
提问，这个叉乘公式怎么来的？为什么会有向量在里面？
【注意】国内的教材，叉积是横的放的：
【这个和下面这个几何的表述联系起来呢？】
方法1：直接计算推导
方法2：利用行列式和点击对偶的性质
也就是这一类的线性变换，可以用一个1x2的变化矩阵来表述：
这个变换矩阵和我要要进行变化的向量相乘的计算和一个点积一致：
回到之前对偶的定义，一种自然的关系存在，
我们把【从空间到数轴 线性变换】和【对偶向量的点乘】进行等价：
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
现在我们做一下叉乘的推算：来说明我们刚才提到的问题：
第一步推算：回到二维的向量空间，做叉积：
叉乘就是一个行列式的值，而且几何上就是表征为一个平行四边形面积：
第二步，我们能不能将二维叉积推广到三维呢？
2.1 既然是三维向量空间，那么自然有三个维度的向量,例如，u,v,w，然后把他们放到一起，进行计算
【案，这个式子里面已经有了三个三维的向量u,v,w】
2.2 从几何上分析：
，这三个向量在三维空间，行列式会张成【SPAN】一个平行六面体的体积。并用右手定则来判断正负。
2.3 叉乘的三维向量的定义：
而叉乘的定义，是两个三维向量，输出一个垂直的第三个向量。和2.1的表达式有区别，怎么办？
2.4 关键的一步假设：
2.3的问题我们有个巧妙的方法进行统一，
假设2.1式子的u向量是一个可变向量，（x,yz）
这样构建了一个函数，输入是可变向量（x，y，z）、
输出是一个数：这个数就是有变量矢量+v+w，构成的平行六面体体积。
2.5 这个函数的再说明：
由于行列式只是表征一个拉伸，所以他依旧是线性的，由于是线性的，我们可以理解为矩阵的乘法来描述这个函数。
【案，这里函数的定义范围缩小到矩阵的乘法】
而1x3的矩阵，是表述一个三维空间到一维空间变换
现在，我们利用点击和对偶的概念：
3D到1D的变换，就是把这个向量转置一下，然后，把整个变换看成是对这个向量的点积：
而这个拿来点积的向量，我们可以认为是P，
现在，我们把这个点积，用计算展开：
好嘛，现在我们再回到叉乘的定义，
如果有这么一个矢量，满足如下：
那么，不就是一个叉乘的定义吗？
基本得出最开始问题的结论：
问题：
提问，这个叉乘公式怎么来的？为什么会有向量在里面？
加入这些向量在里面，只是为了告诉我们，应该把【某些数】这些系数都看成是一个向量的坐标。而这个坐标是由v,w决定的。
而这个向量，满足：
【P和某一个给出的向量点积后，结果等于一个由这个给出的向量（x,y,z）和w,v共同确定的六面体的有向体积】
而我们再从点积的定义出发， 点积【正交】就是
1 [X,Y,Z]先投射到P
2 然后计算[X,Y,Z]投射到P的长度和P长度的乘积
那么，如果回到几何定义：
【P和某一个给出的向量点积后，结果等于一个由这个给出的向量（x,y,z）和w,v共同确定的六面体的有向体积】
这个平行六面体的体积，等于【X,Y,Z】投射到平行六面体的高度上，也就是垂直于V,W两个向量组成的平行四边形的垂直方向上的投影长度：
【方向遵循右手规则】
小结：
1 先定义了一个三维到数轴的线性变换：
这个线性变换，和v,w定义：
2 然后我们考虑这个变换的对偶向量：
用上面这个线性变换和对偶变量进行点乘，
3根据计算和点积性质，推断这个对偶变量的性质：
后面参考：
(42条消息) 线性代数笔记4——向量3（叉积）_我是8位的-CSDN博客_线性代数叉乘
贴一下叉积的应用和例子：
【例2，是一个特别好的应用例子，将空间的点，转为有向的向量，然后再用叉积的知识去求解面积】
参考：
【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili
(40条消息) 线性代数的本质（七）——叉积_LFasd97的博客-CSDN博客
(42条消息) 线性代数笔记4——向量3（叉积）_我是8位的-CSDN博客_线性代数叉乘
词汇：
1Cross Product 叉积
标签：这个,定义,点积,19,线性代数,行列式,叉积,向量 来源： https://blog.csdn.net/yellow_hill/article/details/121772667
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