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AT5140 [AGC035C] Skolem XOR Tree 题解

2021-11-11 12:03:43 阅读：140 来源： 互联网

标签：XOR -- 题解 Tree 异或 AT5140 2n Skolem 节点

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AT5140 [AGC035C] Skolem XOR Tree

给定一个正整数 $N$

试判断，是否存在这样一棵节点数为 $2N$ 的树，满足：

$∀i∈[1,n]$，第 $i$ 号节点和第 $i+n$ 号节点的权值均为 $i$
第 $i$ 号节点到第 $i+N$ 号节点路径上的点的点权异或和恰为 $i$

sol

试考虑异或的性质： $0 ⨁x=x $

也就是说，对于一对 $i,n+i$ 要构造出，除了 $i$ 以外一直到 $n+i$ 的异或和为 $0$ （包括 $n+i$）

所以考虑 $2n+1⨁2n=1$ 这个答案再异或上 $1$就是 $0$ 了

所以我们可以讲 $i$和 $i+1$ 看成一对来处理，一对 $i,i+1,2n+i,2n+i+1$ 我们可以这样连

$i+1--i --1--2n+i+1--2n+i$

这样成对就可以满足了

然后考虑 $1$ 怎么连，我们发现 $1⨁2⨁3=0$，所以利用前面的性质

$1--2--3--n+1--n+2--n+3$6

如果 $n$ 是偶数的话，上面的情况 $n$和 $2n$ 是无法处理的

那么我们就要找一条经过 $1$ 的路径，满足 $x⨁y⨁1=n$ 那么将 $n$ 连 $x$ 连 $1$ 连 $y$ 连 $2n$ 就满足了，但是注意不能选 $3$ ，因为 $3$ 不是和 $1$ 直接相连的

通过观察样例我们发现，如果 $n$ 是 $2$ 的整数次幂无解，因为只有 $n$ 的最高位是 $1$ ,比 $n$ 小的数不可能将最高位构造出 $1$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int main(){
	freopen("AT5140.in","r",stdin);
	freopen("AT5140.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);m=log2(n);
	if(!((1<<m)^n))return printf("No\n"),0;
	printf("Yes\n");
	printf("%d %d\n",1,2);
    printf("%d %d\n",2,3);
    printf("%d %d\n",3,n+1);
    printf("%d %d\n",n+1,n+2);
    printf("%d %d\n",n+2,n+3);
    for(int i=2;2*i+1<=n;i++){
        printf("%d %d\n",1,2*i);
        printf("%d %d\n",1,2*i+1);
        printf("%d %d\n",2*i,2*i+n+1);
        printf("%d %d\n",2*i+1,2*i+n);
    }
    if(!(n&1)){
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(i==3)  continue;
            int y=(i^1^n);
            if(y==3||y>n)  continue;
            printf("%d %d\n",n,i);
            printf("%d %d\n",2*n,y);
            break;
        } 
    }
    return 0;
}

标签：XOR,--,题解,Tree,异或,AT5140,2n,Skolem,节点
来源： https://www.cnblogs.com/martian148/p/15539195.html

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