0-1背包问题
给定n个物品和一个背包，物品\(i\)\((1\le i \le n )\) 的重量为\(w_i\) ,其价值为\(v_i\) ,背包容量为c ,对每种物品只有两种选择：装入背包或者不装。如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？
问题理解
刚开始是我不是很理解这个容量是什么意思，我以为是能装多少个物品的意思，事实上这个容量的意思是，这个背包所能过装的最大重量。
所以，这个题目的意思是，我这个背包只能装这么重的东西，我要怎么装，才能让我带走的东西价值最高。
思想
暴力
我们可以这么想，我们这些物品的子集全部找出来，然后再找出这些子集中重量和不超过c 的，然后从中找到价值最大的子集，然后这个子集上的东西就是我要带走的东西了。
但是，我们分析一下就会知道，对于n个物品，它的子集个数为\(2^n\) ，也就是说，它是呈指数趋势增长的，如果我们的物品很多，那这样产生的子集巨多，我们还按照上面的想法去干显然很呆。
动态规划
然后，老师教我们用动态规划去做，名词听起来就高级，然而我并不能理解动态规划是个什么思想，但这并不影响我去做这道题。也许学多一点以后就会知道了吧。那下面说一下我理解的思路：
我们把这些物品的重量用一个数组存起来，记为\(w[i]\)
把它们对应的价值也用一个数组存起来，记为\(v[i]\)
先找出最大价值是多少
那下面我们先不考虑选哪些物品的问题，先找出这个最大的价值。
我们这样子定义val(i,j) ,它表示将i 个物品装入容量为j 的背包所获得的最大价值，至于装哪些东西进背包才能获得最大价值，这就需要我们进行决策了。很明显，这是我们01背包问题的一个子问题。我们假设前i-1个物品已经决策好了，现在来决策第i个物品，那我们现在是不是就只要考虑要不要把i 装入背包就行了？如果把它装入背包后的价值变大，那我自然是把它装进来呀，是吧。好，那么我们写一下在第i 个位置的决策情况,我们来分析装和不装的情况下的价值：
- 如果当前剩余的容量\(<w[i]\),不能装入，当前价值等于前
i-1个物品决策出来的价值，即\(val(i-1,j)\) - 如果剩余容量\(>w[i]\)，我可以有装入
i和不装这两种选择，我选哪种呢？那肯定做出价值大的那个选择。如果不装的话，当前价值就是：\(val(i,j)=val(i-1,j)\) ,也就是当前价值等于前i-1个物品决策出来的价值。如果选的话，那\(val(i,j)=val(i-1,j-w[i])+v[i]\) ,那当前价值相当于把前i-1个物品装入j-w[i]容量的价值加上这个物品的价值。然后我们取上面两种情况中价值大的作为决策依据。
也就是说，对第i 个物品决策时，我的价值的情况如下：
好，那我现在得到一条递推式了，我自然而然的就可以推出第i+1 个物品在背包剩余容量已知的情况下的最佳决策，第i+2个物品的在背包剩余容量已知的情况下的最佳决策········一直可以推出，有n 个物品，已知背包剩余容量为c 的情况下的最佳决策，也就是最大价值，这是不是也就解决了我的问题？
其实还有一个问题没有解决，那就是我上面这条公式的起始情况是什么？
不难发现，当我们决策第1 个物品时，我们要依赖前0个物品的决策结果，那我们来看第0个物品怎么决策的，现在有0个物品，要把它们装进容量为j 的背包，怎样装才能价值最大？显然无论怎么装，价值都是0。
还有类似的，我有i 个物品，把它们装入到容量为0的背包，价值当然也是0。那么，起始情况如下：
val(0,j)=0;
val(i,0)=0;
那由上面的递推关系，我们就可以求得\(val(n,c)\)的值了。
判断那些物品被装入了背包
上面我们的到了决策的最大价值，那下面我们来看看到底那些物品被我们装入了背包：
我们回顾上面的内容，我们会发现，对于每一个val(i,j)的值，我是不是都可以通过前一个物品的决策结果得到，也就是说，对于每一个val(i,j) ，我是不是都要存着，方便下一个物品决策时参考？那我们用一个二维数组来存它们就刚刚好。
那经过上面那些决策，我们的二维数组val[n+1][c+1]是不是就已经填好了？注意了，我这里数组大小为什么是n+1和c+1 ,因为我们上面把第0个物品和背包容量为0，都算作正常情况，那0个物品也算作一种情况。当然，你也可以把它看作是一种初始化，我这么讲是为了方便理解。
好，那我的二维表已经填好了。那我们来判断第i 个物品有没有装入到背包中，那我们是不是可以比较一下前i-1个物品在背包容量为j时决策所得的价值和前i 个物品在同种情况下的价值大小？如果val(i,j)=val(i-1,j)是不是说明，第i个物体没有被装入背包啊,因为如果装入的话，它的价值应该是比前一个大的。那么，我从后往前推是不是就可以判断出哪些物品被装入了背包，哪些没有？那到此为止，问题就解决了。
代码
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n, c;
cin >> n >> c;
int w[n], v[n];
int val[n + 1][c + 1];
memset(val, 0, sizeof(val)); //val(0,j)=val(i,0)=0，这里全初始化为0了
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> w[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> v[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= c; j++) {
if (j < w[i])
val[i][j] = val[i - 1][j];
else
val[i][j] = max(val[i - 1][j], val[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
}
}
int x[n];
for (int j = c, i = n; i > 0; i--) {
if (val[i][j] > val[i - 1][j]) {
x[i] = 1;
j = j - w[i]; //判断被装入了，减掉它的容量，用于判断前面的物体是否被装入
} else
x[i] = 0;
}
cout << val[n][c] << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cout << x[i] << " ";
}
return 0;
}
时间复杂度
主要算那个二重循环那里，时间复杂度就是： \(O(n*c)\)
相关题目
在acwing 上，我刚好看到一道01背包的简单题，和上面的题目一样。感觉懂了的话可以去当作练习试一下，题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/2/
参考内容
链接：https://space.bilibili.com/501486236?spm_id_from=333.788.b_765f7570696e666f.1
特别感谢这个老师的讲解，让我理解了背包问题的解决过程，如果看不懂这篇博客的话，可以去看看这个视频
总结
- 经过这篇博客的写作，我好像有一点理解动态规划是个什么概念了，大概就是当前的决策问题要依靠前面的决策结果才能作出决策，然后通过递推关系式能够得到最终的结果，这个好像又有点像递归，有点分不清。我想大概思想就是尽可能地利用中间过程的结果为下一步决策。具体的还没有搞懂。
- 虽然有点理解背包问题了，但是用文字描述出来总感觉怪怪的，好像就是有点表达不清楚的样子，尤其是推最大价值那部分。希望以后能进一步改进一下，有大佬理解的话还希望能够点拨一下，万分感谢。
- 在编码过程中要注意对数据进行初始化，不然会有你意想不到的结果，还有就是数组不要越界，这同样会发生不可预估的错误。在定义和使用
w[n]和v[n]以及val[n+1][c+1]时尤其要注意，从+1这个操作应该就会想到了。
标签：背包,val,装入,决策,问题,物品,价值 来源： https://www.cnblogs.com/yongcheng137blogs/p/15527166.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。