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图论━━最短路问题

2021-11-04 16:34:51 阅读：230 来源： 互联网

标签：负环图论 dist int 短路 st 问题算法 include

问题
单源最短路
- 边权都是正数
  - 朴素Dijkstra O(n^2)
  - 堆优化的Dijkstra O(mlogn)
- 存在负权边
  - Bellman-Ford 算法 O(nm)
  - SPFA （没有负环）
多源汇最短路
- Floyd 算法 O(n^3)
链接

问题

图论中的最短路问题，求两个点之间最短距离（路径）的问题；

规定使用n: 表示点的数量；m: 表示边的数量；边数m是顶点数n的平方级别视为稠密图

稠密图使用邻接矩阵存储
稀疏图使用邻接表存储（使用数组模拟）
只考虑有向图，如果是无向图则建立2条双向边即可；默认只考虑有向图

算法总结：

单源最短路

求从一个点到其他所有点的最短距离，顶点为1,2,3...n，求顶点1到其他所有顶点的最短路

边权都是正数

Dijkstra基于贪心算法

朴素的Dijkstra算法\(O(n^2)\)适用于稠密图，边数多的情形\(m=n^2\)，此时比堆优化好
堆优化版Dijkstra算法\(O(mlogn)\)适用于稀疏图，m和n同阶的情形\(m<n^2\)

朴素Dijkstra O(n^2)

稠密图使用邻接矩阵存储

边权是正数时，如果数据出现自环和重边需要预处理：

省略自环
重边只保存最短的边

距离都是单源点1号点到其他点的距离，使用dist[N]数组保存当前距离；维护一个已经确定最小距离的点的集合S，使用了st[N]数组来标记：

算法思路：

1. 初始化距离: dist[1] = 0, dist[i!=0] = +∞
2. for i: 1~n:       // 迭代n次，每次得到一个最短路径的点
	 t <-- 不在S中的点，且距离最近的点
     S <-- t（将t加入到S中)
     用点t来更新其他点的距离

朴素版Dijkstra算法

Dijkstra求最短路 I

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N]; // 邻接矩阵
int dist[N]; // 当前顶点1到所有点的距离
bool st[N];  // 是否加入集合S(已知最短距离的点集合)

int dijkstra()
{
	// 初始化当前的距离
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;

	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int t = -1;
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
				t = j;
		st[t] = true;
	
		// 更新相邻顶点的距离
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
	}
	
	//判断dist[n]
	if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
		return -1;
	return dist[n];
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);

	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	
	while (m--)
	{
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		// 处理多重边
		g[a][b] = min(g[a][b], c);
	}
	
	int t = dijkstra();
	printf("%d\n", t);
}

堆优化的Dijkstra O(mlogn)

稀疏图--使用邻接表存储，方便遍历邻接边，h[N],w[N],e[N],ne[N]

采用stl的priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> queue;

堆优化版本Dijkstra算法

Dijkstra求最短路 II

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

using PII = pair<int, int>;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;

int dist[N];
bool st[N];

// 邻接表添加边 a --> b (w=c)
void add(int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dijkstra()
{
	// 初始化距离
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;

	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
	heap.push({0, 1});

	while (heap.size())
	{
		auto t = heap.top();
		heap.pop();

		int ver = t.second, distance = t.first;
		if (st[ver])
			continue;
		// 标记更新过
		st[ver] = true;
		// 只遍历所有的邻边
		for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (dist[j] > distance + w[i])
			{
				dist[j] = distance + w[i];
				heap.push({dist[j], j});
			}
		}
	}

	if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
		return -1;
	return dist[n];
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);

	// 邻接表的表头初始化
	memset(h, -1, sizeof h);

	while (m--)
	{
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		// 有重边也不影响，算法会使用最短的来更新
		add(a, b, c);
	}

	int t = dijkstra();
	printf("%d\n", t);
	return 0;
}

存在负权边

Bellman-Ford算法 O(nm)
SPFA 一般：O(m)，最坏O(nm); 是Bellman-Ford算法的一个优化，效率比Bellman-Ford好

但是不是所有的问题都可以用SPFA做，例如最短路边数<=k的最短路，只能使用Bellman-Ford算法

Bellman-Ford 算法 O(nm)

边的存储方式：只要能够遍历所有的边就可以；算法思路：

struct edge{  
	int a,b,w;  
}edges[N];  

for 1:n :  // n次循环
	for 所有边 a,b,w    // 遍历所有边 (a -> b,(w))进行更新
        dist[b]=min(dist[b], dist[a]+w(a,b));

思想：因为最短路径最多为n-1个边的组合; 松弛n-1次，一定可以松弛完最远的点，得到所有的最短距离

注意：每次迭代，是对上一个dist数组（同一个状态)进行迭代的，对相同的距离状态进行更新（需要先备份）

Bellman-Ford算法

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 510, M = 10010;

int n, m, k;
int dist[N], backup[N];

struct Edge
{
	int a, b, w;
} edges[M];

int bellman_ford()
{
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		memcpy(backup, dist, sizeof dist);
		for (int j = 0; j < m; j++)
		{
			int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
			dist[b] = min(dist[b], dist[a] + w);
		}
	}
	// if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2)
	// 	return -1;
	// return dist[n];
	// -1也可能是路径长度
	return dist[n];
}

int main()
{
	cin >> n >> m >> k;

	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		int a, b, w;
		cin >> a >> b >> w;
		edges[i] = {a, b, w};
	}

	int res = bellman_ford();
	if (res > 0x3f3f3f3f / 2)
		puts("impossible");
	else
		cout << res << endl;
	return 0;
}

说明

迭代k次，表示1号点不超过k条边的最短距离
如果经过n次迭代，第n次最短路径还有更新，说明这个n条边的路径上n+1个节点，有环，说明有负环，因此，可以判断有负环，但通常使用spfa判断

SPFA （没有负环）

使用邻接表存储，复杂度一般是O(m)，网格图可能卡成O(nm)

对Bellman-Ford算法的改进，每次迭代中对于任意边a --> b(w)，只有顶点a距离变小了，才有可能更新邻点b的距离

使用一个队列，存储所有距离变小的顶点a，（优化：使用st数组存储顶点是否已经在队列中），算法思路：

1. 初始化距离: dist[1] = 0, dist[i!=0] = +∞
2. queue <-- {0,1} //顶点1入队{距离，编号}
while queue非空：
    t <-- queue.front()
    queue.pop()
    更新t的所有出边的终点的距离 t --> b  // 更新
    如果t不在队列queue中，queue <-- t

注意：没有负环，才能直接用

spfa算法

spfa求最短路

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N];
// 优化: 标记是否在队列中
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa()
{
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;

	queue<int> q;
	q.push(1);
	st[1] = true;
	// 只有更新过的点才能更新其他顶点的距离
	while (!q.empty())
	{
		auto t = q.front();
		q.pop();
		st[t] = false;
		for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (dist[j] > dist[t] + w[i])
			{
				dist[j] = dist[t] + w[i];
				if (!st[j])
				{
					q.push(j);
					st[j] = true;
				}
			}
		}
	}
	return dist[n];
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);

	memset(h, -1, sizeof h);
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		int x, y, z;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
		add(x, y, z);
	}

	int t = spfa();
	if (t > 0x3f3f3f3f / 2)
		puts("impossible");
	else
		printf("%d\n", t);
	return 0;
}

判断负环：判断(任意一条)最短路径的长度是否>=n (注意这里需要将所有点预先加入队列)，因为负环可能在某些顶点不可到达

不需要维护绝对距离，维护一个cnt数组，存储更新后路径上边数，如果有一路径的边数>=n，说明路径上出现负环：

bool spfa()
{
	queue<int> q;
	// 判断负环
	for (int i = 1; i <= n; i++) //可能1号点到不了，把所有点都加入
	{
		q.push(i);
		st[i] = true;
	}

	//队列中的点，都是距离缩短的，需要更新它的邻点距离
	while (q.size())
	{
		int t = q.front();
		q.pop();
		st[t] = false;

		for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (dist[j] > dist[t] + w[i])
			{
				dist[j] = dist[t] + w[i];
				cnt[j] = cnt[t] + 1; // 更新路径长度

				if (cnt[j] >= n) // 说明有负环
					return true;
				if (!st[j])
				{
					q.push(j);
					st[j] = true;
				}
			}
		}
	}
	return false;
}

说明：有负权回路的图，负环不在路径上也可能求到某点的最短路径

多源汇最短路

起点和终点都不确定/都任意，求所有顶点间的最短路

Floyd算法 O(n^3) 基于动态规划原理

Floyd 算法 O(n^3)

使用邻接矩阵存储 d[N][N]存储顶点间距离，d[i][i]=0;

算法思路：分阶段d[k,i,j]=min(d[k-1,i,j], d[k-1,i,k]+d[k-1,k,j])

需要没有负权环，数据的预处理：自环（正）可以省略，重边取最短的边

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, Q;
int d[N][N];

void floyd()
{
	for (int k = 1; k <= n; k++)
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
	cin >> n >> m >> Q;

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			if (i == j)
				d[i][j] = 0;
			else
				d[i][j] = INF;

	while (m--)
	{
		int a, b, w;
		cin >> a >> b >> w;
		d[a][b] = min(d[a][b], w);
	}

    floyd();
	while (Q--)
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		if (d[a][b]>INF/2)
		    cout << "impossible" << endl;
		else cout <<d[a][b]<<endl;
	}

	
}

链接

最短路算法模版

标签：负环,图论,dist,int,短路,st,问题,算法,include
来源： https://www.cnblogs.com/Nilx/p/15508816.html

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