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首先是格拉姆-施密特正交化
标准正交矩阵Q有如下的特性
根据这篇文章投影矩阵的通式为
当A为正交矩阵Q时,上式可以转化为
这样就简化了投影矩阵P,所以这就是正交化的好处。
我们在这篇文章研究投影矩阵的时候得到如下关系
如果有一个矩阵q=[a,b,c],正交化之后变为Q=[A,B,C],令A=a,而正交矩阵中A和B是垂直的,根据这个图
B其实就是b-p得来的,p就是b在A上的投影 [公式] ,所以 [公式] ,然后在三维坐标系中,C就是c减去c在A和B上的投影,所以 [公式] ,再用向量除以模长来归一化,就得到了正交化后的正交矩阵Q。
然后引出QR分解法
Q和原来的矩阵A有如下关系:
R是上三角矩阵,所以有了正交三角分解法或者QR分解法。
标签:QR,--,矩阵,投影,正交,格拉姆,分解 来源: https://www.cnblogs.com/sggggr/p/15425694.html
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