标签：直线 begin frac 变换 解析几何 坐标 对称 end cases

被迫营业

点关于点对称

设\(P(x_{1},y_{1})\)关于\(O(x_{0},y_{0})\)的对称点为\(P'(x_{2},y_{2})\)
根据中点坐标公式，有

\[ \begin{cases} \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=x_{0} \\ \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=y_{0} \end{cases} \]

整理得

\[ \begin{cases} x_{2}=2x_{0}-x_{1} \\ y_{2}=2y_{0}-y_{1} \end{cases} \]

点关于直线对称

设\(P(x_{1},y_{1})\)关于\(l:Ax+By+C=0\)的对称点为\(P'(x_{2},y_{2})\)
由\(PP'\)中点在\(l\)上得

\[\begin{equation} A\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+B\frac{y_{1}+y_{2}}{2}+C=0 \label{1} \end{equation}\]

由\(PP'\perp l\)得

\[\begin{equation} \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x{2}}(-\frac{B}{A})=-1 \label{2} \end{equation}\]

联立两式即得

\[ \begin{cases} x_{2}=x_{1}-2A\frac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}} \\ y_{2}=y_{1}-2B\frac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}} \end{cases} \]

观察到方程右边形似点到直线距离公式，使用\(d^{2}=\frac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}}\)替换

\[ \begin{cases} x_{2}=x_{1}-2Ad^{2} \\ y_{2}=y_{1}-2Bd^{2} \end{cases} \]

直线关于点对称

设\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)关于点\(O(x_{0},y_{0})\)的对称直线为\(l_{2}\)
设\(l_{2}\)上任意一点\(P(x_{1},y_{1})\)，\(P\)关于\(O\)点的对称点为\(P'(2x_{0}-x_{1},2y_{0}-y_{1})\)
由于点\(P'\)应在\(l_{1}\)上，则有\(A_{1}(2x_{0}-x_{1})+B_{1}(2y_{0}-y_{1})+C_{1}=0\)
即\(l_{2}\)的方程为$$A_{1}x+B_{1}y-2A_{1}x_{0}-2B_{1}y_{0}-C_{1}=0$$
更一般地，对于任意曲线\(f(x,y)=0\)，经过上述对称变换后的方程为\(f(2x_{0}-x,2y_{0}-y)=0\)

直线关于直线对称

同理，应用点关于直线对称公式，对于直线\(f(x,y)=0\)，关于直线\(l:Ax+By+C=0\)的对称直线方程为$$f(x-2A d^{2} ,y-2B d^{2} )=0$$，其中\(d\)为点\((x,y)\)到直线\(l\)的距离
对于任意曲线同理

标签：直线,begin,frac,变换,解析几何,坐标,对称,end,cases
来源： https://www.cnblogs.com/nephrenn/p/15371926.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。