标签：线性方程组 end 迭代 boldsymbol iter cases omega 解法
对于线性方程组的迭代求解方法可以分为两类，静态迭代方法与非静态迭代方法，两者区别在于，前者构造简单，迭代步长与方向恒定，但是收敛条件限制较大，收敛速度较慢。而非静态方法构造格式更复杂，收敛速度更快。本文主要记录静态迭代方法
静态迭代法
考虑以下线性方程组
\[\boldsymbol Ax=\boldsymbol b \]对于工程计算中产生的大型稀疏矩阵A（非奇异），迭代法是求解此类方程组的最佳方法。根据此方程构造其一阶定常迭代格式迭
\[\begin{cases} x^{(0)}\qquad \text {初始值}\\ \boldsymbol x^{k+1}=\boldsymbol Bx^{k}+d \end{cases} \]迭代方法的收敛条件可以简单认作：\(\boldsymbol B\)的谱半径小于\(1\)，即\(\rho(B)<1\)
收敛速度可以简单认作：\(R(\boldsymbol B)=-\text{ln}\rho(\boldsymbol B)\)
对于方程\(\boldsymbol Ax=\boldsymbol b\)，一般选择将\(\boldsymbol A\)进行分裂，\(\boldsymbol {A=M-N}\)，可以选择合适的\(\boldsymbol M\)使得\(\boldsymbol {M}x=d\)易于求解，
\[\boldsymbol Ax=b \Leftrightarrow x=\boldsymbol M^{-1}\boldsymbol Nx+\boldsymbol M^{-1}b \]Jacobi迭代法
将系数矩阵\(\boldsymbol A\)分解
\[\boldsymbol {A=D-L-U} \]\(\boldsymbol {D,L,U}\)分别为对角矩阵、下三角矩阵、上三角矩阵，则可以构造得到\(Jacobi\)迭代格式
\[\begin{cases} x^{(0)}\qquad \text {初始值}\\ \boldsymbol x^{(k+1)}=\boldsymbol {D^{-1}(L+U)}x^{(k)}+\boldsymbol{D^{-1}b} \end{cases} \]function [x,iter,Residual]=Jacobi(A,b,x0,epsilon,iter_max)
%系数矩阵A,b,初始值x0,误差限制epsilon，最大迭代步数iter_max
iter=0;
x=x0;
%D=diag(diag(A)); %对角线
invD=diag(diag(A).^(-1));
U=triu(A,1); %上三角
L=tril(A,-1); %下三角
B=-invD*(L+U);
d=invD*b;
if(max(abs(eig(B)))>=1)
error('can not convergent!')
end
Residual=1e20;
while sqrt(Residual) >= epsilon && iter < iter_max
iter=iter+1;
x_new=B*x+d;
Residual=norm(x_new-x,2);
x=x_new;
end
end
Gauss-Seidel迭代法
与\(Jacobi\)迭代法不同的是，迭代过程中，更新计算第\(i+1\)个分量时，使用了已经更新的第\(i\)个变量。迭代形式为
\[\begin{cases} x^{(0)}\qquad \text {初始值}\\ \boldsymbol x^{(k+1)}=\boldsymbol {{(D-L)}^{-1}U}x^{(k)}+\boldsymbol{(D-L)^{-1}b} \end{cases} \]SOR迭代
逐次超松弛迭代法（Successive Over Relaxation method）
选取分裂的下三角矩阵\(M\)中带有松弛因子
\[\boldsymbol M =\frac{1}{\omega}(\boldsymbol D-\omega \boldsymbol L),\quad \omega>0 \]带有松弛因子的迭代格式为
\[\begin{cases} x^{(0)}\qquad \text {初始值}\\ \boldsymbol x^{(k+1)}=\boldsymbol {{(D-\omega L)}^{-1}((1-\omega)D+\omega U)}x^{(k)}+ \boldsymbol{\omega(D-\omega L)^{-1}b} \end{cases} \]显然\(\omega=1\)时，\(SOR\)方法为\(Gauss-Seidel\)迭代法
\(\omega>1\)，称为超松弛迭代；\(\omega<1\)，称为亚松弛迭代；
function [x,iter,Residual]=SOR(A,b,x0,omega,epsilon,iter_max)
%系数矩阵A,b,初始值x0,误差限制epsilon,松弛因子omega,最大迭代步数iter_max
iter=0;
x=x0;
D=diag(diag(A)); %对角线
U=triu(A,1); %上三角
L=tril(A,-1); %下三角
B=inv(D-omega*L)*((1-omega)*D+omega*U);
d=omega*inv(D-omega*L)*b;
Residual=1e20;
while sqrt(Residual) >= epsilon && iter < iter_max
iter=iter+1;
x_new=B*x+d;
Residual=norm(x_new-x,2);
x=x_new;
end
end
标签：线性方程组,end,迭代,boldsymbol,iter,cases,omega,解法 来源： https://www.cnblogs.com/chetwin/p/15365338.html
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