标签：limits 题解 sum long 式子 竞技 binom 树上 define
有几档暴力不会写，巨丢人
\(m=2\) 的话两个人之间的距离会覆盖整棵树上所有可能的路径，所以就是求所有树上路径长度的总和
成链且 \(m\) 为奇数的话，集中点肯定是中位数那个点
考场上想偏了，只会用这个性质求一些给定的人应该集中在哪个点
但实际上可以枚举中位数这个点，求出一共有多少匹配的方案
然后正解
点并不好考虑，所以考虑边
如果一条边两边人数不等那数量较少的那些人肯定都得经过这条边
令 \(s\) 为这条边一边的人数
于是一条边的贡献为 \(\sum\limits_{i=1}^{m-1}\binom{s}{i}\binom{n-s}{m-i}min(i, m-i)\)
直接求复杂度会炸，于是转化一下，先考虑弄掉那个min
等价于 \(\sum\limits_{i=1}^{\frac{m-1}{2}}\binom{s}{i}\binom{n-s}{m-i}i + \binom{n-s}{i}\binom{s}{m-i}i\)
令 \(k=\frac{m-1}{2}\)
观察这个式子 \(\sum\limits_{i=1}^{k}\binom{s}{i}\binom{n-s}{m-i}i\)，试着把外面的 \(i\) 去掉
于是令 \(G(s)=\sum\limits_{i=1}^{k}\binom{s-1}{i-1}\binom{n-s}{m-i}\)，则原式等于 \(s*G(s)\)
- 一个全是组合数数的式子想转化或者 \(O(n)\) 递推的话貌似可以根据式子给它一个组合意义
考虑组合意义，即为在 \(n-1\) 个物品里选 \(m-1\) 个，要求前 \(s-1\) 中最多能选 \(k-1\) 个的方案数
推到 \(G(s+1)\) 的话会少了前 \(s-1\) 中选了 \(k-1\) 个，且第 \(s+1\) 个也被选了的情况
于是可以 \(O(n)\) 递推
与这个类似的另一部分实际上就是 \(G(n-s)\)，不用另算了
Code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 1000010
#define ll long long
// #define int long long
char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
int ans=0, f=1; char c=getchar();
while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48), c=getchar();
return ans*f;
}
int n, m;
int head[N], size;
const ll mod=1000000007;
struct edge{int to, next;}e[N<<1];
inline void add(int s, int t) {e[++size].to=t; e[size].next=head[s]; head[s]=size;}
namespace force{
int vis, dp[30], siz[30], minn;
ll ans;
void dfs1(int u) {
siz[u]=(vis&(1<<(u-1)))?1:0;
for (int i=head[u],v; ~i; i=e[i].next) {
v = e[i].to;
dfs1(v);
siz[u]+=siz[v];
dp[u]+=dp[v]+siz[v];
}
}
void dfs2(int u, int sum) {
// cout<<"dfs2: "<<u<<' '<<sum<<endl;
minn=min(minn, sum+dp[u]);
for (int i=head[u],v; ~i; i=e[i].next) {
v = e[i].to;
dfs2(v, sum+dp[u]-dp[v]-siz[v]+(m-siz[v]));
}
}
void solve() {
memset(head, -1, sizeof(head));
for (int i=2; i<=n; ++i) add(read(), i);
int lim=1<<n;
for (int s=1,s2,cnt; s<lim; ++s) {
s2=s; cnt=0;
do {++cnt; s2&=s2-1;} while (s2) ;
if (cnt!=m) goto jump;
vis=s;
// cout<<"s: "<<bitset<5>(s)<<endl;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
// memset(siz, 0, sizeof(siz));
dfs1(1); minn=INF; dfs2(1, 0);
// cout<<"siz: "; for (int i=1; i<=n; ++i) cout<<siz[i]<<' '; cout<<endl;
// cout<<"dp: "; for (int i=1; i<=n; ++i) cout<<dp[i]<<' '; cout<<endl;
// cout<<"minn: "<<minn<<endl;
ans=(ans+minn)%mod;
jump: ;
}
printf("%lld\n", ans);
exit(0);
}
}
namespace task1{
int siz[N];
ll fac[N], inv[N], ans;
inline ll C(int n, int k) {return n<k?0ll:fac[n]*inv[n-k]%mod*inv[k]%mod;}
void dfs(int u) {
siz[u]=1;
for (int i=head[u],v; ~i; i=e[i].next) {
v = e[i].to;
dfs(v);
siz[u]+=siz[v];
}
}
void solve() {
memset(head, -1, sizeof(head));
for (int i=2; i<=n; ++i) add(read(), i);
dfs(1);
fac[0]=fac[1]=1; inv[0]=inv[1]=1;
for (int i=2; i<=n; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
for (int i=1; i<n; ++i) {
for (int j=1; j<m; ++j) {
int s=siz[e[i].to];
ans=(ans+C(s, j)*C(n-s, m-j)%mod*min(j, m-j)%mod)%mod;
}
}
printf("%lld\n", ans);
exit(0);
}
}
namespace task{
int siz[N];
ll fac[N], inv[N], ans, G[N], H[N];
inline ll C(int n, int k) {return n<k?0ll:fac[n]*inv[n-k]%mod*inv[k]%mod;}
inline ll H2(int s) {
int k=(m-1)/2;
ll ans=0;
for (int i=1; i<=k; ++i) ans=(ans+C(n-s-1, i-1)*C(s, m-i)%mod)%mod;
return ans;
}
inline ll G2(int s) {
int k=(m-1)/2;
ll ans=0;
for (int j=1; j<=k; ++j) ans=(ans+C(s-1, j-1)*C(n-s, m-j)%mod)%mod;
return ans;
}
void dfs(int u) {
siz[u]=1;
for (int i=head[u],v; ~i; i=e[i].next) {
v = e[i].to;
dfs(v);
siz[u]+=siz[v];
}
}
void solve() {
memset(head, -1, sizeof(head));
for (int i=2; i<=n; ++i) add(read(), i);
dfs(1);
fac[0]=fac[1]=1; inv[0]=inv[1]=1;
for (int i=2; i<=n; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
G[1]=G2(1);
int k=(m-1)/2;
for (int i=1; i<n; ++i) G[i+1]=(G[i]-C(i-1, k-1)*C(n-i-1, m-k-1)%mod)%mod;
#if 0
cout<<"G: "; for (int i=1; i<=n; ++i) cout<<(G[i]+mod)%mod<<' '; cout<<endl;
for (int i=1; i<=n; ++i) {
ll t=0;
for (int j=1; j<=k; ++j)
t=(t+C(i-1, j-1)*C(n-i, m-j)%mod)%mod;
cout<<t<<' ';
} cout<<endl;
#endif
#if 1
// H[n-1]=H2(n-1);
// for (int i=n-1; i; --i) H[i-1]=(H[i]-C(n-i-1, k-1)*(i-1, m-k-1)%mod)%mod;
// for (int i=1; i<=n; ++i) H[i+1]=(H[i]+C(n-i-1, k-1)*(i-1, m-k-1)%mod)%mod;
// cout<<"H2: "; for (int i=1; i<=n; ++i) cout<<H2(i)<<' '; cout<<endl;
// cout<<"H: "; for (int i=1; i<=n; ++i) cout<<H[i]<<' '; cout<<endl;
#endif
for (int i=1; i<n; ++i) {
int s=siz[e[i].to];
// cout<<"H: "<<H2(s)<<endl;
ans=(ans+s*G[s]%mod+(n-s)*G[n-s]%mod+((m&1)?0:(C(s, m/2)*C(n-s, m/2)%mod*(m/2)%mod)))%mod;
}
printf("%lld\n", (ans%mod+mod)%mod);
exit(0);
}
}
signed main()
{
freopen("meeting.in", "r", stdin);
freopen("meeting.out", "w", stdout);
n=read(); m=read();
// force::solve();
task::solve();
return 0;
}
标签：limits,题解,sum,long,式子,竞技,binom,树上,define 来源： https://www.cnblogs.com/narration/p/15363327.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。