educational round #5 cf616E Sum of Remainders

2021-10-01 21:33:16 阅读：109 来源： 互联网

标签：lfloor cf616E educational frac Remainders long rfloor ans mod

询问 $n\mod 1+n\mod 2+n\mod 3+\cdots +n\mod m$ 对 $10^9+7$ 取模的值.

$1\leq n,m\leq 10^{13}$

考虑 $\mathrm O(m)$ 地计算肯定是不可行的 .

是否可以和分解因数一样，只考虑 $\mathrm O(\sqrt n)$ 之内的内容呢？

是可以的，观察可得对于 $1\leq x\leq \sqrt n$ ，对于 $\lfloor\frac{n}{y}\rfloor =x$ 的 $y$ 的范围是 $\lfloor \frac{n}{x+1}\rfloor+1 \leq y\leq \lfloor \frac{n}{x}\rfloor $ .

那么，对于这些 $y$ 的模数是 $n-x\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$ 到 $n-x(\lfloor \frac{n}{x+1}\rfloor+1)$ ，依次递增 $x$ . 这个直接等差序列求和 .

这是，可以发现，对于 $m=x$ 和 $m\in [\lfloor \frac{n}{x+1}\rfloor+1 ,\lfloor \frac{n}{x}\rfloor ]$ 是可以 $\mathrm O(1)$ 地求和的 .

随着 $x$ 的增加，可以求和的区间形如两边向中间衍生，知道相遇合并 .

所以，发现，只要枚举 $x\in [1,\sqrt n]$ ，就可以得到所有 $[1,m]$ 的所有模数.

可能要特殊处理一下最后 $x=\sqrt n$ 的情况 .

此题要非常注意取模 .

时间复杂度 : $\mathrm O(\sqrt n)$

空间复杂度 : $\mathrm O(1)$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline long long read(){
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	long long res=0;
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return res;
}
inline void print(int res){
	if(res==0){
		putchar('0');
		return;
	}
	int a[10],len=0;
	while(res>0){
		a[len++]=res%10;
		res/=10;
	}
	for(int i=len-1;i>=0;i--)
		putchar(a[i]+'0');
}
const int mod=1e9+7;
long long n,m;
long long ans=0;
int main(){
	int inv2=(mod+1)/2;
	n=read();m=read();
	long long s=0;
	while(s*s<=n)s++;
	if(s*s>n)s--;
	if(m<=s){
		for(int i=1;i<=m;i++){
			ans=(n%i+ans)%mod;
		}
		print(ans);
		putchar('\n');
		return 0;
	}
	int ans=0;
	for(long long i=1;(i+1)*(i+1)<=n;i++){
		ans=(ans+n%i)%mod;
		long long r=n/i,l=n/(i+1)+1;
		if(l>min(n-1,m))continue;
		r=min(r,min(n-1,m)); 
		long long R=n-r*i,L=n-l*i;
		long long tmp=1ll*(R+L)%mod*((r-l+1)%mod)%mod*inv2%mod; 
		ans=(ans+tmp)%mod;
	}
	if(1ll*s*s==n){
		if(s<=m){
			ans=(ans+n%s)%mod;	
		}
	}else{
		long long r=n/s;
		r=min(r,min(n-1,m));
		long long l=s+1; 
		if(l>r)l=r;
		long long R=n-r*s,L=n-l*s;
		long long tmp=1ll*(R+L)%mod*((r-l+1)%mod)%mod*inv2%mod;
		ans=(ans+tmp)%mod;
		if(l!=s)ans=(ans+n%s)%mod;
	}
	if(m>n)ans=(1ll*(m-n)%mod*(n%mod)%mod+ans)%mod;
	print(ans);
	putchar('\n');
	return 0;
}
/*inline? ll or int? size? min max?*/

标签：lfloor,cf616E,educational,frac,Remainders,long,rfloor,ans,mod
来源： https://www.cnblogs.com/suadwm/p/15360140.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

educational round #5 cf616E Sum of Remainders