标签：Shop Ladies 题意 limits int res FFT 集合
好久没刷过 FFT/NTT 的题了，写篇题解罢（
首先考虑什么样的集合 \(T\) 符合条件。我们考察一个 \(x\in S\)，根据题意它能够表示成若干个 \(\in T\) 的数之和，这样一来我们可以分出两种情况，如果 \(x\) 本来就属于 \(T\)，那么 \(x\) 自然就符合条件，这种情况我们暂且忽略不管。否则根据题设，必然存在一个数列 \(b_1,b_2,\cdots,b_m\)，满足 \(m\ge 2,\forall i\in[1,m],b_i\in T\)，且 \(\sum\limits_{i=1}^mb_i=x\)。由于 \(m\ge 2\)，我们可以将第一项与后面 \(m-1\) 项分开来，即 \(b_1+\sum\limits_{i=2}^mb_i\)。根据题意前两个应当都 \(\in S\)，也就是说如果一个数 \(x\) 可以表示成两个及以上的 \(T\) 中的数的和的必要条件是 \(\exists y,z\in S,s.t.y+z=x\)，因此我们假设 \(S'\) 为可以表示成两个 \(S\) 中元素之和的 \(x\) 组成的集合，那么考虑分以下几种情况考虑：
- 如果存在一个 \(x\in S'\) 但不属于 \(S\)，那么根据题意可知 \(x\) 也应当可以被 \(T\) 中元素表示出来，与条件不符。
- 如果不存在属于 \(S'\) 但不属于 \(S\) 的 \(S\)，那么我们考虑 \(T=\{x|x\notin S',x\in S\}\)，那么 \(T\) 即为所求。为什么呢？首先显然所有 \(x\in S',x\in S\) 的数必须都属于 \(T\)，因为根据之前的分析，所有可以表示成两个即以上 \(T\) 中数的和的数都应当 \(\in S'\)。其次对于所有可以表示成两个及以上的数的 \(x\)，也就是每个集合中的 \(x\)，学过线性代数那一套理论的同学应该明白，删掉这样的 \(x\) 是不影响集合所有数能拼出的数的集合的，这样反复进行下去即可将 \(S'\) 删空，剩余的部分就是集合 \(T\) 了。因此集合 \(T\) 符合条件。
那么怎么求 \(S'\) 呢？其实非常 trivial（）考虑幂级数 \(A(x)=\sum\limits_{i=1}^nx^{a_i}\)，那么 \(S'\) 即为 \(A^2(x)\) 中系数非零且 \(\le m\) 的项组成的集合。FFT 求出即可。
时间复杂度 \(m\log m\)
const int MAXN=1e6;
const int MAXP=1<<21;
const double Pi=acos(-1);
int n,m,a[MAXN+5];
struct comp{
double x,y;
comp(double _x=0,double _y=0):x(_x),y(_y){}
comp operator +(const comp &rhs){return comp(x+rhs.x,y+rhs.y);}
comp operator -(const comp &rhs){return comp(x-rhs.x,y-rhs.y);}
comp operator *(const comp &rhs){return comp(x*rhs.x-y*rhs.y,x*rhs.y+y*rhs.x);}
} A[MAXP+5];
int rev[MAXP+5],LEN=1;
void FFT(comp *a,int len,int type){
int lg=31-__builtin_clz(len);
for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<lg-1);
for(int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i=2;i<=len;i<<=1){
comp W(cos(2*Pi/i),type*sin(2*Pi/i));
for(int j=0;j<len;j+=i){
comp w(1,0);
for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*W){
comp X=a[j+k],Y=a[(i>>1)+j+k]*w;
a[j+k]=X+Y;a[(i>>1)+j+k]=X-Y;
}
}
} if(!~type){
for(int i=0;i<len;i++) a[i].x=(int)(a[i].x/len+0.5);
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),a[x]++;
for(int i=1;i<=m;i++) A[i].x=a[i];
while(LEN<=(m+m)) LEN<<=1;FFT(A,LEN,1);
for(int i=0;i<LEN;i++) A[i]=A[i]*A[i];
FFT(A,LEN,-1);
// for(int i=1,v;i<=m;i++) printf("%d%c",(v=(int)(A[i].x))," \n"[i==m]);
for(int i=1,v;i<=m;i++) if((v=(int)(A[i].x))&&!a[i]) return puts("NO"),0;
vector<int> res;
for(int i=1,v;i<=m;i++) if(((v=(int)(A[i].x))>0)^a[i]) res.pb(i);
printf("YES\n%d\n",res.size());
for(int x:res) printf("%d ",x);
return 0;
}
upd on 2021.9.21：真·《好久没刷过》
https://codeforces.ml/contest/1574/problem/F
标签：Shop,Ladies,题意,limits,int,res,FFT,集合 来源： https://www.cnblogs.com/ET2006/p/Codeforces-286E.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。