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复变函数的极限和连续性

函数的极限

定义

  设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)定义在 z 0 z_0 z0​的去心邻域 0 < ∣ z − z 0 ∣ < ρ 0<|z-z_0|<\rho 0<∣z−z0​∣<ρ内。如果有一确定的数 A A A存在，对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，相应地必有一正数 δ ( ε ) ( o < δ ≤ ρ ) \delta(\varepsilon)(o<\delta\leq\rho) δ(ε)(o<δ≤ρ)，使得当 o < ∣ z − z 0 ∣ < δ o<|z-z_0|<\delta o<∣z−z0​∣<δ时有
           ∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z)-A|<\varepsilon ∣f(z)−A∣<ε
那么称 A A A为 f ( z ) f(z) f(z)当 z z z趋向于 z 0 z_0 z0​时的极限，记作 lim ⁡ z − z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z-z_0}f(z)=A z−z0​lim​f(z)=A，或记作当 z → z 0 z\to z_0 z→z0​时， f ( z ) → A f(z)\to A f(z)→A
定义中 z z z趋向于 z 0 z_0 z0​的方式是任意的

定理一

  设 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)， A = u 0 + i v 0 A=u_0+iv_0 A=u0​+iv0​， z 0 = x 0 + i y 0 z_0=x_0+iy_0 z0​=x0​+iy0​，那么 lim ⁡ z − z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z-z_0}f(z)=A z−z0​lim​f(z)=A的充要条件是
       lim ⁡ y → y 0 x → x 0 u ( x , y ) = u 0 \lim\limits_{ ^{x \to x_0 }_{ ^{y \to y_0}}}u(x,y)=u_0 y→y0​x→x0​​lim​u(x,y)=u0​， lim ⁡ y → y 0 x → x 0 v ( x , y ) = v 0 \lim\limits_{ ^{x \to x_0 }_{ ^{y \to y_0}}}v(x,y)=v_0 y→y0​x→x0​​lim​v(x,y)=v0​

定理二

  如果 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A z→z0​lim​f(z)=A， lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = B \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=B z→z0​lim​g(z)=B，那么

1. lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ± g ( z ) ] = A ± B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=A\pm B z→z0​lim​[f(z)±g(z)]=A±B
2. lim ⁡ z → z 0 f ( z ) g ( z ) = A B \lim\limits_{z\to z_0}f(z)g(z)=AB z→z0​lim​f(z)g(z)=AB
3. lim ⁡ z → z 0 f ( z ) g ( z ) = A B \lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B} z→z0​lim​g(z)f(z)​=BA​ ( B ≠ 0 ) (B\neq 0) (B​=0)

函数的连续性

定义

  如果 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) z→z0​lim​f(z)=f(z0​)，那么我们就说 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0​处连续。如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内处处连续，我们就说 f ( z ) f(z) f(z)在 D D D内连续。

定理三

  函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 z 0 = x 0 + i y 0 z_0=x_0+iy_0 z0​=x0​+iy0​处连续的充要条件是： u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处连续。

定理四

1. 在 z 0 z_0 z0​连续的两个函数 f ( z ) f(z) f(z)与 g ( z ) g(z) g(z)的和、差、积、商（分母在 z 0 z_0 z0​不为零）在 z 0 z_0 z0​处连续
2. 如果函数 h = g ( z ) h=g(z) h=g(z)在 z 0 z_0 z0​连续，函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在 h 0 = g ( z 0 ) h_0=g(z_0) h0​=g(z0​)连续，那么复合函数 w = f [ g ( z ) ] w=f[g(z)] w=f[g(z)]在 z 0 z_0 z0​处连续

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