多重背包
定义：有一个固定容量的背包，并且有若干种物品，每种物品有
n
i
n_i
ni个，每种物品所占的空间是
v
i
v_i
vi，价值为
w
i
w_i
wi，问如何取可以让背包内的物品的总价值最大。
朴素的多重背包dp
f
[
i
]
[
j
]
f[i][j]
f[i][j]的定义：表示从前
i
i
i种物品中选，背包容量为
j
j
j的情况下，所有选法的最大值。
f
[
i
]
[
j
]
=
m
a
x
(
f
[
i
]
[
j
]
,
f
[
i
−
1
]
[
j
−
k
∗
v
[
i
]
]
+
k
∗
w
[
i
]
)
;
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][j−k∗v[i]]+k∗w[i]);这个状态转移方程的含义就是选
k
k
k个第
i
i
i种物品的情况下，从前
i
−
1
i-1
i−1个物品中选可以得到的最大价值
朴素的多重背包dp就是进行三重循环，第一重循环是枚举放入的第
i
i
i个物品，第二重循环是枚举背包的容量，第三重循环就是枚举第
i
i
i个物品放入的个数。
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<j;k++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
但是这样的时间复杂度
为
O
(
n
×
m
×
c
)
为O(n \times m \times c)
为O(n×m×c)过高了，所以就要想办法进行优化。
二进制优化
二进制优化就是将所有种类的物品按照二进制进行分组，因为所有的十进制数都可以由若干个二进制的数组成，这样就可以用01背包的方法进行求解了
时间复杂度降低为
O
(
n
×
w
×
l
o
g
c
)
O(n\times w\times logc)
O(n×w×logc)，有一定程度的优化
//二进制优化 （每若干个分组）//可以等价为01背包 所以就直接写一维
int cnt=0;//记录编号
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a,b,s;
cin>>a>>b>>s;// a体积 b价值 s数量
int k=1;//二进制分组
while(k<=s)
{
cnt++;
v[cnt]=a*k;
w[cnt]=b*k;
s-=k;
k*=2;
}
if(s>0)//说明最后还剩下一些不足2的k+1次方的数 直接单独存起来
{
cnt++;
v[cnt]=a*s;
w[cnt]=b*s;
}
}
n=cnt;//代表每一个物品都按照2进制分类完后等价的物品总数
//后面直接按照01背包的解法就可以
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[m];
优先队列优化
暂时还没想好怎么写 裹妹那塞
标签：cnt,背包,二进制,队列,int,物品,优化 来源： https://blog.csdn.net/weixin_51712179/article/details/120156015
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