标签:ch frac 函数 poj1322 sum times choose Chocolate 2i
题目大意:
一共有\(c\)种糖果,取\(n\)次,每次取到糖果种类都是等概率的,求有\(m\)种糖果个数为奇数个的概率。
思路:
直接概率DP时间复杂度太高,卡常数也不太好卡。
将每次取出来的糖果看成是一个带有重复元素的排列,直接计算复合条件的排列数量。
考虑符合条件的最后的序列的考虑EGF(指数型生成函数),可得出现次数为偶数次的糖果的生成函数为:
\[
F_0(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
\]
出现奇数次的糖果的生成函数为:
\[
F_1(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
\]
可以得到最后的答案的生成函数为:
\[
F_1^{m}(x)\times F_0^{c-m}(x)=(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^m\times(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^{c-m}
\]
将\(e^x\)看成是一个整体,然后两边分别二项式展开之后做卷积,然后再将\(e^x\)展开即可得到第\(n\)项系数。
\[
\begin{aligned}
G(x)&=2^{-c}\times \sum_{i=0}^{m}(-1)^i{m\choose i}\times e^{(m-2i)x}\times \sum_{j=0}^{c-m}{c-m\choose j}\times e^{(2j-c+m)x}\\
&=2^{(-c)}\times \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i{m\choose i}{c-m\choose j}\times e^{(2m-2i+2j-c)x}\\
&=2^{(-c)}\times \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i{m\choose i}{c-m\choose j}\times \sum_{k=0}^{\infty}\frac{((2m-2i+2j-c)x)^k}{k!}
\end{aligned}
\]
设第\(n\)项的系数为\(a_n\),最后的答案为:
\[
\frac{a_n\times{c\choose m}\times n!}{2^c\times c^n}
\]
垃圾poj
坑点:
如果用实数类去计算,中间过程可能会爆精度,特别是中间的快速幂,建议将最后分母的那个\(c^m\)移到系数的快速幂里面,这样会让中间过程的数值小一些。
好像用不了%lf,直接用%f即可。
交C++好像过不了。
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* Author : ylsoi
* Time : 2019.2.1
* Problem : Chocolate
* E-mail : ylsoi@foxmail.com
* ====================================*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<" "
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;
using namespace std;
void File(){
freopen("poj1322.in","r",stdin);
freopen("poj1322.out","w",stdout);
}
template<typename T>void read(T &_){
_=0; T fl=1; char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')fl=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar())_=(_<<1)+(_<<3)+(ch^'0');
_*=fl;
}
const int maxn=1e6+10;
const int maxc=200+10;
int c,n,m;
double C[maxc][maxc],ans;
double qpow(double x,int y){
double ret=1;
while(y){
if(y&1)ret=ret*x;
x=x*x;
y>>=1;
}
return ret;
}
void init(){
C[0][0]=1;
REP(i,1,200){
C[i][0]=1;
REP(j,1,i)C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
}
}
int main(){
File();
init();
while(~scanf("%d%d%d",&c,&n,&m)){
if(!c)break;
ans=0;
if(m>c || m>n || (n-m)%2){
printf("0.000\n");
continue;
}
REP(i,0,m)REP(j,0,c-m)
ans+=(i%2 ? -1 : 1)*C[m][i]*C[c-m][j]*qpow((2*m-2*i+2*j-c)*1.0/c,n);
ans=ans*C[c][m]/qpow(2,c);
printf("%.3f\n",ans);
}
return 0;
}
标签:ch,frac,函数,poj1322,sum,times,choose,Chocolate,2i 来源: https://www.cnblogs.com/ylsoi/p/10347213.html
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