标签：mathbb Psi 压缩 boldsymbol 矩阵 稀疏 感知 合集
1 压缩感知的简介
1.1 提出
D． Donoho、E． Candes 及华裔科学家 T． Tao等人提出了一种新的信息获取理论 － 压缩感知（Compressive Sensing）
Donoho D L． Compressed sensing［J］ ． IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52( 4) : 1289 － 1306
1.2 评价
- 突破了香农-奈奎斯特采样定理的限制。
- 实现对信号采样的同时完成压缩的过程。
- 并不直接测量信号本身， 它使用非自适应线性投影（感知矩阵）来获得信号的整体构造从而直接得到重要的信息， 忽略那些在有损压缩中会被丢弃的信息。
2 压缩感知的数学模型
给定输入信号 X ∈ R N × 1 \boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{N\times1} X∈RN×1，最终想要得到压缩信号 A ∈ R M × 1 \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{M\times1} A∈RM×1， K < < N K<<N K<<N
2.1 压缩过程（感知过程）分为（稀疏变换和投影测量）
2.1.1 稀疏变换（稀疏表示、稀疏过程）
找到一个基或者过完备字典
Ψ
\boldsymbol{\Psi}
Ψ，使得信号
X
\boldsymbol{X}
X在
Ψ
\boldsymbol{\Psi}
Ψ域是稀疏的，（参考补充材料稀疏）满足下面的公式
X
=
Ψ
Y
\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y}
X=ΨY
因为是规范正交基所以实现变换系数也就是压缩信号：
Y
=
Ψ
T
X
\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{\Psi}^T \boldsymbol{X}
Y=ΨTX，其中
Y
\boldsymbol{Y}
Y 是
X
\boldsymbol{X}
X 的等价或逼近的稀疏表示。变换基
Ψ
\boldsymbol{\Psi}
Ψ的选择可以为某
种已被广泛应用的基，如小波基、傅里叶基、局部傅里叶基等。另外，可以使用紧框架（原子字典）来对信号进行稀疏表示， 如曲线波和轮廓波， 这两类变换基具有更好的方向性，并且各向异性，少量系数即可有效地捕捉图像的边缘轮廓，在边缘表示方面优于小波。
2.1.2 投影测量（测量过程）
观测矩阵
Φ
∈
R
M
×
N
\boldsymbol{\Phi} \in \mathbb{R}^{M\times N}
Φ∈RM×N，观测矩阵也叫测量矩阵，感知矩阵，实现的功能是对信号进行降维和压缩
A
=
Φ
X
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{X}
A=ΦX
同时也是对在
Ψ
\boldsymbol{\Psi}
Ψ域上的稀疏投影
Y
\boldsymbol{Y}
Y进行投影测量
A
=
Φ
Ψ
Y
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y}
A=ΦΨY
矩阵
Φ
\boldsymbol{\Phi}
Φ需要满足的性质（需要保证稀疏向量
Y
\boldsymbol{Y}
Y 从
N
N
N维降到
K
K
K 维时重要信息不被破坏。）
变换基 Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ不相关（会在之后的blog中有叙述）
有限等距性（Restricted Isometry Property，RIP）（会在之后的blog中有叙述）
2.1.3 感知过程（压缩过程）总结
A = Φ X = Φ Ψ Y = Θ Y \boldsymbol{A} =\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y} = \boldsymbol{\Theta}\boldsymbol{Y} A=ΦX=ΦΨY=ΘY
Θ \boldsymbol{\Theta} Θ即为感知过程的核心命名为感知矩阵
| 符号 | 含义 | 维度 | 属性 |
|---|---|---|---|
| X \boldsymbol{X} X | 输入信号；待压缩信号 | R N × 1 \mathbb{R}^{N\times1} RN×1 | 未知，需要恢复 |
| Φ \boldsymbol{\Phi} Φ | 观测矩阵；测量矩阵 | R M × N \mathbb{R}^{M \times N} RM×N | 已知（非自适应性） |
| Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ | 变换矩阵；变换基矩阵；稀疏基矩阵；稀疏矩阵；正交基字典矩阵 | R N × N \mathbb{R}^{N\times N} RN×N | 已知（非自适应性） |
| Y \boldsymbol{Y} Y | 正交基变换后的稀疏表示 | R N × 1 \mathbb{R}^{N\times1} RN×1 | 未知，需要恢复 |
| Θ \boldsymbol{\Theta} Θ | 感知矩阵 | R M × N \mathbb{R}^{M\times N} RM×N | 已知（非自适应性） |
| A \boldsymbol{A} A | 观测压缩所得到压缩信号 | R M × 1 \mathbb{R}^{M\times1} RM×1 | 已知 |
2.2 恢复过程：重构算法的数学表示
在得到已经压缩完的采样信号
A
\boldsymbol{A}
A后，根据确定的固定性观测矩阵
Φ
\boldsymbol{\Phi}
Φ和稀疏矩阵
Ψ
\boldsymbol{\Psi}
Ψ的先验信息进行恢复，数学表达如下
X
ˇ
=
f
(
A
,
Θ
)
\boldsymbol{\check{X}}=f(\boldsymbol{A},\boldsymbol{\Theta})
Xˇ=f(A,Θ)
若
N
=
M
N=M
N=M，正定方程有唯一解
而 M < < N M<<N M<<N，欠定方程
一般可以抽象为如下求解任务
min
∥
Ψ
T
X
∥
0
s
.
t
.
Θ
X
=
Φ
Ψ
X
=
A
\min \left\| \boldsymbol{\Psi}^{T} \boldsymbol{X}\right\|_{0} \\s.t. \boldsymbol{\Theta} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi}\boldsymbol{X}= \boldsymbol{A}
min∥∥∥ΨTX∥∥∥0s.t.ΘX=ΦΨX=A
注意
若 N = M N=M N=M，则可轻松由 A \boldsymbol{A} A解出 X \boldsymbol{X} X和 Y \boldsymbol{Y} Y
而
M
<
<
N
M<<N
M<<N，可根据稀疏表示下的信号
Y
\boldsymbol{Y}
Y和矩阵所具有的RIP特性重构
标签：mathbb,Psi,压缩,boldsymbol,矩阵,稀疏,感知,合集 来源： https://blog.csdn.net/qq_41554005/article/details/118652068
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