标签：prime 01 mathbf 入门 vi mathcal GNN 节点 定义
GNN入门之路01
此次学习的内容来源于datawhale的6月份组队学习活动，本人由于已经报名的Linux教程的组队学习，所以这个课程没有报上，不过既然是开源学习，没跟上大部队，自己就进行自我学习了，好了，废话少说，下面进入正题。
一、图的表示
首先，我们需要对图的概念进项说明，什么是图呢，在我的理解中图就是对实体和关系的一种表示。比如，小王和小李是朋友，在图的存储结构中，这两个人就是两个实体，而朋友关系可以用一条连结的边表示。
图的定义
∙
\bullet
∙ 一个图被记为
G
=
{
V
,
E
}
\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}
G={V,E}，其中
V
=
{
v
1
,
…
,
v
N
}
\mathcal{V}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{N}\right\}
V={v1,…,vN}是数量为
N
=
∣
V
∣
N=|\mathcal{V}|
N=∣V∣ 的节点的集合，
E
=
{
e
1
,
…
,
e
M
}
\mathcal{E}=\left\{e_{1}, \ldots, e_{M}\right\}
E={e1,…,eM} 是数量为
M
M
M 的边的集合。
-
图用节点表示实体（entities ），用边表示实体间的关系（relations）。
-
节点和边的信息可以是类别型的（categorical），类别型数据的取值只能是哪一类别。一般称类别型的信息为标签（label）。
-
节点和边的信息可以是数值型的（numeric），数值型数据的取值范围为实数。一般称数值型的信息为属性（attribute）。
-
在图的计算任务中，我们认为，节点一定含有信息（至少含有节点的度的信息），边可能含有信息。
邻接矩阵 -
给定一个图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其对应的邻接矩阵被记为 A ∈ { 0 , 1 } N × N \mathbf{A} \in\{0,1\}^{N \times N} A∈{0,1}N×N。 A i , j = 1 \mathbf{A}_{i, j}=1 Ai,j=1表示存在从节点 v i v_i vi到 v j v_j vj的边，反之表示不存在从节点 v i v_i vi到 v j v_j vj的边。
-
在无向图中，从节点 v i v_i vi到 v j v_j vj的边存在，意味着从节点 v j v_j vj到 v i v_i vi的边也存在。因而无向图的邻接矩阵是对称的。
-
在无权图中，各条边的权重被认为是等价的，即认为各条边的权重为 1 1 1。
-
对于有权图，其对应的邻接矩阵通常被记为 W ∈ { 0 , 1 } N × N \mathbf{W} \in\{0,1\}^{N \times N} W∈{0,1}N×N，其中 W i , j = w i j \mathbf{W}_{i, j}=w_{ij} Wi,j=wij表示从节点 v i v_i vi到 v j v_j vj的边的权重。若边不存在时，边的权重为 0 0 0。
无向图及其邻接矩阵
A
=
(
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
)
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)
A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛0101110100010011000110110⎠⎟⎟⎟⎟⎞
二、图的属性
定义三（节点的度，degree）：
-
对于有向有权图，节点 v i v_i vi的出度（out degree）等于从 v i v_i vi出发的边的权重之和，节点 v i v_i vi的入度（in degree）等于从连向 v i v_i vi的边的权重之和。
-
无向图是出度和入度相等的有向图
-
无权图是各边权重为1的有权图，节点 v i v_i vi的出度（out degree）等于从 v i v_i vi出发的边的数量，节点 v i v_i vi的入度（in degree）等于从连向 v i v_i vi的边的数量。
-
节点 v i v_i vi的度记为 d ( v i ) d(v_i) d(vi)，入度记为 d i n ( v i ) d_{in}(v_i) din(vi)，出度记为 d o u t ( v i ) d_{out}(v_i) dout(vi)。
定义四（邻接节点，neighbors）：
-
一个节点的邻接节点就是指直接与其相连的节点，如此节点为 v i v_i vi则记为** N ( v i ) \mathcal{N(v_i)} N(vi)**
-
**节点 v i v_i vi的 k k k跳远的邻接节点（neighbors with k k k-hop）**就是指走k步才能到 v i v_i vi的节点（一个节点的 2 2 2跳远的邻接节点包含了自身）
定义五（行走，walk）：
- w a l k ( v 1 , v 2 ) = ( v 1 , e 6 , e 5 , e 4 , e 1 , v 2 ) walk(v_1, v_2) = (v_1, e_6,e_5,e_4,e_1,v_2) walk(v1,v2)=(v1,e6,e5,e4,e1,v2)，这是一次“行走”，它是一次从节点 v 1 v_1 v1出发，依次经过边 e 6 , e 5 , e 4 , e 1 e_6,e_5,e_4,e_1 e6,e5,e4,e1，最终到达节点 v 2 v_2 v2的“行走”。
- 下图所示为 w a l k ( v 1 , v 2 ) = ( v 1 , e 6 , e 5 , e 4 , e 1 , v 2 ) walk(v_1, v_2) = (v_1, e_6,e_5,e_4,e_1,v_2) walk(v1,v2)=(v1,e6,e5,e4,e1,v2)，其中红色数字标识了边的访问序号。
- 在“行走”中，节点是允许重复的。
定理六：
- 有一图，其邻接矩阵为 A \mathbf{A} A, A n \mathbf{A}^{n} An为邻接矩阵的 n n n次方，那么 A n [ i , j ] \mathbf{A}^{n}[i,j] An[i,j]等于从节点 v i v_i vi到节点 v j v_j vj的长度为 n n n的行走的个数。（也就是，以节点 v i v_i vi为起点，节点 v j v_j vj为终点，长度为 n n n的节点访问方案的数量，节点访问中可以兜圈子重复访问一些节点）
定义七（路径，path）：
- “路径”是节点不可重复的“行走”。
定义八（子图，subgraph）：
- 有一图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，另有一图 G ′ = { V ′ , E ′ } \mathcal{G}^{\prime}=\{\mathcal{V}^{\prime}, \mathcal{E}^{\prime}\} G′={V′,E′}，其中 V ′ ∈ V \mathcal{V}^{\prime} \in \mathcal{V} V′∈V， E ′ ∈ E \mathcal{E}^{\prime} \in \mathcal{E} E′∈E并且 V ′ \mathcal{V}^{\prime} V′不包含 E ′ \mathcal{E}^{\prime} E′中未出现过的节点，那么 G ′ \mathcal{G}^{\prime} G′是 G \mathcal{G} G的子图。(简单的说就是节点和边都是子集，且这两个子集可以组成图)
定义九（连通分量，connected component）：
- 给定图 G ′ = { V ′ , E ′ } \mathcal{G}^{\prime}=\{\mathcal{V}^{\prime}, \mathcal{E}^{\prime}\} G′={V′,E′}是图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}的子图。记属于图 G \mathcal{G} G但不属于 G ′ \mathcal{G}^{\prime} G′图的节点集合记为 V / V ′ \mathcal{V}/\mathcal{V}^{\prime} V/V′ 。如果属于 V ′ \mathcal{V}^{\prime} V′的任意节点对之间存在至少一条路径，但不存在一条边连接属于 V ′ \mathcal{V}^{\prime} V′的节点与属于 V / V ′ \mathcal{V}/\mathcal{V}^{\prime} V/V′的节点，那么图 G ′ \mathcal{G}^{\prime} G′是图 G \mathcal{G} G的连通分量。（简单的说就是劈开了，咔嚓，嘎嘣脆）
左右两边子图都是整图的连通分量。
定义十（连通图，connected graph）：
- 当一个图只包含一个连通分量，即其自身，那么该图是一个连通图。（钢铁直男，劈不开，掰不弯）
定义十一（最短路径，shortest path）：
-
v
s
,
v
t
∈
V
v_{s}, v_{t} \in \mathcal{V}
vs,vt∈V 是图
G
=
{
V
,
E
}
\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}
G={V,E}上的一对节点，节点对
v
s
,
v
t
∈
V
v_{s}, v_{t} \in \mathcal{V}
vs,vt∈V之间所有路径的集合记为
P
s
t
\mathcal{P}_{\mathrm{st}}
Pst。节点对
v
s
,
v
t
v_{s}, v_{t}
vs,vt之间的最短路径
p
s
t
s
p
p_{\mathrm{s} t}^{\mathrm{sp}}
pstsp为
P
s
t
\mathcal{P}_{\mathrm{st}}
Pst中长度最短的一条路径，其形式化定义为
p s t s p = arg min p ∈ P s t ∣ p ∣ p_{\mathrm{s} t}^{\mathrm{sp}}=\arg \min _{p \in \mathcal{P}_{\mathrm{st}}}|p| pstsp=argp∈Pstmin∣p∣
其中， p p p表示 P s t \mathcal{P}_{\mathrm{st}} Pst中的一条路径， ∣ p ∣ |p| ∣p∣是路径 p p p的长度。（就是所有路径中最短的那个，特短）
定义十二（直径，diameter）：
- 给定一个连通图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其直径为其所有节点对之间的最短路径的最大值，形式化定义为
diameter ( G ) = max v s , v t ∈ V min p ∈ P s t ∣ p ∣ \operatorname{diameter}(\mathcal{G})=\max _{v_{s}, v_{t} \in \mathcal{V}} \min _{p \in \mathcal{P}_{s t}}|p| diameter(G)=vs,vt∈Vmaxp∈Pstmin∣p∣
定义十三（拉普拉斯矩阵，Laplacian Matrix）：
- 给定一个图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其邻接矩阵为 A A A，其拉普拉斯矩阵定义为 L = D − A \mathbf{L=D-A} L=D−A，其中 D = d i a g ( d ( v 1 ) , ⋯ , d ( v N ) ) \mathbf{D=diag(d(v_1), \cdots, d(v_N))} D=diag(d(v1),⋯,d(vN))。
定义十四（对称归一化的拉普拉斯矩阵，Symmetric normalized Laplacian）：
- 给定一个图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其邻接矩阵为 A A A，其规范化的拉普拉斯矩阵定义为
L = D − 1 2 ( D − A ) D − 1 2 = I − D − 1 2 A D − 1 2 \mathbf{L=D^{-\frac{1}{2}}(D-A)D^{-\frac{1}{2}}=I-D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}}} L=D−21(D−A)D−21=I−D−21AD−21
三、图的种类
同质图（Homogeneous Graph）：只有一种类型的节点和一种类型的边的图。
异质图（Heterogeneous Graph）：存在多种类型的节点和多种类型的边的图。
二部图（Bipartite Graphs）：节点分为两类，只有不同类的节点
之间存在边。
四、图结构数据上的机器学习
- 节点预测：预测节点的类别或某类属性的取值
- 例子：对是否是潜在客户分类、对游戏玩家的消费能力做预测
- 边预测：预测两个节点间是否存在链接
- 例子：Knowledge graph completion、好友推荐、商品推荐
- 图的预测：对不同的图进行分类或预测图的属性
- 例子：分子属性预测
- 节点聚类：检测节点是否形成一个社区
- 例子：社交圈检测
- 其他任务
- 图生成：例如药物发现
- 图演变：例如物理模拟
- ……
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