标签：ch nl Minimization int CF868F sum mid tot Another

CF868F Yet Another Minimization Problem

解法

这个题首先考虑最基础的 DP。

显然，我们可以令 \(f_{i,j}\) 表示，考虑区间 \([1,i]\)，分成 \(j\) 段的最小费用。那么我们最后求得就是 \(f_{n,k}\)。

转移也显然：

\[f_{i,j}=\min\limits_{t=1}^i f_{t-1,j-1}+w_{t,i} \]

其中 \(w_{t,i}\) 表示 \([t,i]\) 区间内的费用。

这个 DP 显然 \(O(k\cdot n^2)\)，要炸。由于 \(k\) 很小，我们考虑优化到 \(O(k\cdot n\log n)\)。CF的少爷机肯定跑的了。

我们考虑用整体二分优化。

首先理解一点，我们令 \(g_{i,j}\) 为 \(f_{i,j}\) 的决策点，即，使得 \(f_{i,j}\) 最小的那个 \(t\)。我们可以理性理解一下，\(j\) 不变，随着 \(i\) 增大，\(g_{i,j}\) 一定单调不严格递增。想要证明的话可以用四边形不等式。这个读者自证不难。

其实我自己证过，是对的。

那我们考虑固定 \(j\)，计算区间 \([l,r]\) 内的 \(f_{i,j}\) 的值。我们现在暴力求解 \(f_{mid,j}\)。为了表达方便，记 \(p=g_{mid,j}\)。由于我们上面提到的那个性质，\(\forall t\in [l,mid-1]\) 的决策点一定在 \([l,p]\) 中，右半边同理。

这样，我们不停递归即可。我们可以发现，最多递归 \(\log n\) 层，每层复杂度是 \(O(n)\)，再算上枚举 \(j\) 的时间，总复杂度为 \(O(k\cdot n\log n)\)。

至于怎么计算 \(w_{i,j}\)，可以类比莫队。

代码

//Don't act like a loser.
//This code is written by huayucaiji
//You can only use the code for studying or finding mistakes
//Or,you'll be punished by Sakyamuni!!!
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int read() {
	char ch=getchar();
	int f=1,x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') {
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}

const int MAXN=1e5+10,INF=1e14; 

int n,m,nl,nr,tot;
int f[MAXN][22],a[MAXN],sum[MAXN];

int calc(int x) {
	return x*(x-1)/2;
}
void get(int l,int r) {
    //类比莫队
	while(nl<l) {
		tot-=calc(sum[a[nl]]);
		sum[a[nl]]--;
		tot+=calc(sum[a[nl]]);
		nl++;
	}
	while(nl>l) {
		nl--; 
		tot-=calc(sum[a[nl]]);
		sum[a[nl]]++;
		tot+=calc(sum[a[nl]]);
	}
	while(nr<r) {
		nr++; 
		tot-=calc(sum[a[nr]]);
		sum[a[nr]]++;
		tot+=calc(sum[a[nr]]);
	}
	while(nr>r)  {
		tot-=calc(sum[a[nr]]);
		sum[a[nr]]--;
		tot+=calc(sum[a[nr]]);
		nr--;
	}
}

void divide(int l,int r,int lp,int rp,int j) {
    //[lp,rp]为决策点的可能区间范围。
	if(r<l) {
		return ;
	}
	int mark=0;
	int mid=(l+r)>>1;
	int rrpp=min(rp,mid-1);
	f[mid][j]=INF;
	
	for(int p=lp;p<=rrpp;p++) {
		get(p+1,mid);
		//f[mid][j]=min(f[mid][j],f[p][j-1]+tot);
		if(f[mid][j]>f[p][j-1]+tot) {
			f[mid][j]=f[p][j-1]+tot;
			mark=p;
		}
	}
	divide(l,mid-1,lp,mark,j);
	divide(mid+1,r,mark,rp,j);
}

signed main() {
	cin>>n>>m;
	nl=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		a[i]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		get(1,i);
		f[i][1]=tot;
        //j=1特别计算
	}
	for(int i=2;i<=m;i++) {
		divide(1,n,1,n,i);
	}
	
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

标签：ch,nl,Minimization,int,CF868F,sum,mid,tot,Another
来源： https://www.cnblogs.com/huayucaiji/p/CF868F.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。