标签：多项式 sum cdots 定理 choose Clues prod CF156D

考虑共有\(k\)个连通块，第\(i\)个联通块的大小为 \(s_i\) ，在最终生成的树的度数为 \(d_i\) 的方案数。

对应到prufer序列上就是

\[{k-2\choose d_1-1,d_2-1\cdots d_k-1}\prod {{s_i}^{d_i}}=\frac{(k-2)!}{\prod (d_i-1)!}\prod {{s_i}^{d_i}} \]

看到这个\(d_i-1\)的形式似乎不是很优美，设\(f_i=d_i-1\)，即

\[{k-2\choose e_1,e_2,\cdots ,e_k}\prod{s_i^{e_i+1}} \]

这是个多项式定理的形式，多项式定理即为项数多于 \(1\) 的情况下

\[(x_1+x_2+\cdots+x_t)^m=\sum_{\sum n_i=t}{{t\choose n_1,n_2,\cdots,n_t}}\prod x_i^{n_i} \]

\(n_i\) 为 \(x_i\) 这项的系数，一个比较简单的证明：从 \(m\) 项中选择 \(n\) 个数，那么组合为 \((n_1,n_2,\cdots,n_t)\)的方案就有

\[t\choose n_1,n_2,\cdots,n_t \]

种，每种权值为 \(\prod x_i^{n_i}\)。

由于\(\sum s_i=n\)于是原式即可化为

\[n^{k-2}\prod s_i \]

标签：多项式,sum,cdots,定理,choose,Clues,prod,CF156D
来源： https://www.cnblogs.com/szmssf/p/14963095.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。