小时候老师总告诉我们「要有n个方程才能确定地解出n个未知数」——这句话其实是不严格的，如果你想确定地解出n个未知数，只有n个方程是不够的，这n方程还必须都是「有用的」才行。从这个角度，初学者可以更好地理解「矩阵的秩」。
其实，《线性代数》这门课自始自终被两条基本线索交叉贯穿——它们可以被称为这门课程最为关心的两大基本问题；当这两个问题被深入地研究之后，我们还会发现这两者在某一个节点上被统一在了一起——这两个问题中的一个就是寻求形如：
这样的n元一次方程组的「解法」、并且对它的解进行如下的研究。
- 在面对一个具体的问题时，一般而言我们会首先关注这个问题“有没有答案”——这就是所谓「解的存在性」。
- 如果所研究的问题是有答案的，进一步地我们会关心这个问题的“答案是不是只有一个”——这就是所谓「解的唯一性」。
- 如果我们对上述两个问题的回答是：答案唯一地存在，那么接下来我们想要知道是否能有统一的方法来找到这个解；如果我们的回答是：答案存在但是不唯一，我们就要问：能否把每一个答案全部找到？并且、能否说清楚这个问题不同答案之间的相互关系——换言之，我们想要研究线性方程组「解的结构」。
当然，小时候老师就告诉过我们：「想要确定地*解出n个未知数，你要有n个方程才行」——这句话其实是不严格的，如果你想准确地解出n个未知数，只有n个方程是不够的，这n方程还必须都是「有用的」才行，而这些有用的的个数，就是所谓「矩阵的秩」。
* 换用精确的数学语言，「确定地解出方程」这句话应该表述为「解出方程，并且要求该结果是唯一的」，换言之，矩阵的秩回答了「方程组解的唯一性」。
换言之，有些方程组你看上去有很多内容，但其实它是被严重注水的——那个方程组中可能有一些方程是完全没用的，比如下面这个例子：
如果你将第一个方程的-1、-4、-2倍分别加在随后的各个方程上，就可以得到：
这一步消掉了后三式中含有 和
的项，继续：将第二个方程的-3倍和1倍分别加在第三、第四个方程上：
注意：后两个方程“0=0”实际上没有告诉我们任何新的信息，这实际上这两个方程完全没用！换言之，整个方程组真正「有价值的」部分只有两个：
按照中学数学的观点：老师常常告诉我们，四个未知数、两个方程，是没有办法解的——这是一句不严谨的说法，中学老师真正想要告诉我们的是：方程的个数低于未知量个数时，这个线性方程组是没有唯一解的——换言之，这个方程组有无穷多个解。
那么我们接下来就有一个很自然的问题：
我们究竟应该除去哪些方程，以保证剩下的方程每一个都是“有价值的”？
这个问题实际上是线性代数特别关心的一个话题，回答了这个问题，就可以帮助我们非常恰当地化简一个方程组。
要回答这个问题，我们就需要引入一个新的概念：极大线性无关组；
在讲清楚这个概念之前，我们需要了解什么叫做“线性无关”。
线性相关与线性无关
在一个线性空间*中，如果一组向量 ，
，
，
（其中
）从
可以推知
，则称这组向量「线性无关」。
相应地，在一个线性空间中，如果存在一组不全为零的数 （其中
），使得一组向量
，
，
，
有
成立，则称这组向量「线性相关」。
以上面的方程组为例：观察这个方程组前两个方程的系数和常数项组成的行向量，令：
对于前两个向量而言：如果计算 ，得到的方程组是：
实际上这其中第一、二、四个方程是是同一个，整个方程组简化为：
计算可知： ，
，这说明
和
是线性无关的。
然而、如果我们考虑前三个向量 、
和
，就可以根据前面的变换轻易地得知：
；考虑前四个向量向量
、
、
和
，我们还可以知道：
，这说明前：三个向量所组成的向量组是线性相关的；前四个向量组成的向量也是线性相关的。
毕竟，矩阵每一行拆开就是一堆向量；把一堆向量拼起来，就是一个矩阵；所以，如果你把 、
、
和
这四个向量排成一列，这不就是一个矩阵吗？
而我们关于「矩阵的秩」的定义是这样的：矩阵中所有行向量中极大线性代无关组的元素个数。——而我们前面已经说了，「极大线性无关组」其实就是那个方程组中真正有价值的方程对应的系数向量。
现在，相信你一定理解了我们最初的那句话：那些方程组中真正是有用的的方程个数，就是这个方程组对应矩阵的秩。
标签：方程,方程组,矩阵,如何,理解,线性,我们,向量 来源： https://www.cnblogs.com/Carrawayang/p/14951616.html
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