标签：Dn ... &...& xn trick vmatrix 线性代数 行列式
线性代数小trick
- 行列式：
∣ a i j ∣ n |a_i^j|_n ∣aij∣n = ∣ a 1 1 . . . a 1 n . . . a n 1 . . . a n n ∣ \begin{vmatrix} a_1^1&...&a_1^n \\ &...\\ a_n^1&...&a_n^n \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣a11an1.........a1nann∣∣∣∣∣∣
n n n个元素构成的 n n n阶行列式：
通式： a [ i , j ] n = a[i,j]n= a[i,j]n= ∑ j 1 , j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 , j 2 , . . . , j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n \sum_{j_{1},j_{2}...j_{n}}(-1)^{r(j_{1},j_{2},...,j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}} ∑j1,j2...jn(−1)r(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2...anjn r ( j 1 , j 2 , . . . j n ) r(j_{1},j_{2},...j_{n}) r(j1,j2,...jn)表示逆序对个数。 行列式的某些性质：
1. 1. 1. a [ i , j ] n = a [ j , i ] n a[i,j]n=a[j,i]n a[i,j]n=a[j,i]n。（行与列交换后的转置行列式和原行列式相同）
说真的，我找遍了全网，都没找到一个让我满意的证明。于是，献上一份我自己理解的行列变换后行列式值不变的证明（数形结合）：
首先，这是一种情况：
我们想一下，求逆序对个数，我们就图像来看怎么求？
是不是对于每个黑块，我们都要求出它右上方有多少个黑块，那么，它对逆序对个数的贡献就是它的右上和左下方的黑方块数（因为它既与右上的黑方块构成逆序对，又与左下的黑方块构成逆序对）。
将其翻转后，图像是这样的：
对于上图的逆序对个数，我们还是要求每一个黑方块的右上和左下有多少黑方块，然后，我们就会惊奇地发现，变换后图像中，每一个方块的右上就对应了变换前每一个方块的左下，也就是说，二者等价！！！这样，就可以证明性质1了。
2. 2. 2.交换行列式任意两行，得到 a [ i , j ] n ∗ a[i,j]n* a[i,j]n∗， a [ i , j ] n = − a [ i , j ] n ∗ a[i,j]n=-a[i,j]n* a[i,j]n=−a[i,j]n∗，
这是因为:对于一组数： i , a 1 , a 2 , a 3 . . a n , j i,a_{1},a_{2},a_{3}..a_{n},j i,a1,a2,a3..an,j, i ! = j i!=j i!=j,将 i i i与 j j j交换，逆序对个数奇偶性相反。
3. 3. 3.行列式中的每一行都乘上k,得到的结果是原来的k倍。
4. 4. 4.对于两个行列式 a , b a,b a,b，若只有第 i i i行不同，那么两者之和为一个新的矩阵的行列式，这个矩阵的第 i i i行的对应值为 a i + b i a_{i}+b_{i} ai+bi，其他行的值与原来相同，根据加法原理。
5. 5. 5.一个矩阵中，若某两行 i , j i,j i,j完全相同，那这个矩阵的行列式为 0 0 0，根据性质2可得。
6. 6. 6.一个矩阵，若某两行： i , j i,j i,j，变换为： a [ j ] = a [ j ] + k ∗ a [ i ] a[j]=a[j]+k*a[i] a[j]=a[j]+k∗a[i],行列式的值不变。根据性质4和性质5可证。 - 代数余子式
在 n n n 阶行列式 D D D 中划去任意选定的 k k k 行、 k ( 0 < k < n ) k (0 < k < n) k(0<k<n)列后，余下的元素按原来顺序组成的 n − k n - k n−k 阶行列式 M M M ，称为 M M M 是其中一个行列式 D D D 的 k k k 阶余子式。
主子式：去掉的行和列相同。 - 范德蒙德行列式
D n D_n Dn = ∣ 1 1 . . . 1 x 1 x 2 . . . x n x 1 2 x 2 2 . . . x n 2 . . . x 1 n x 2 n . . . x n n ∣ \begin{vmatrix} 1&1&...&1 \\ x_1&x_2&...&x_n\\ x_1^2&x_2^2&...&x_n^2\\ &...\\ x_1^n&x_2^n&...&x_n^n \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12x1n1x2x22...x2n............1xnxn2xnn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∏ 1 < = i < j < = n ( x j − x i ) \prod_{1<=i<j<=n}(x_j-x_i) ∏1<=i<j<=n(xj−xi).
证：
首先，若 n = 2 n=2 n=2时，此式一定成立。
对于 D n D_n Dn，我们先假设 D n − 1 D_{n-1} Dn−1是正确的，那么，如果我们可以证出来 D n D_n Dn满足范德蒙德行列式的形式，则证明范德蒙德行列式正确。我们要利用行列式的性质对 D n D_n Dn做出一些基本变换：
将 D n D_n Dn的每一行（除第一行外）都减去上一行的对应值乘上 x n x_n xn，由行列式性质可得，变换后的行列式与原来相同。
D n D_n Dn= ∣ 1 1 . . . 1 x 1 − x n x 2 − x n . . . x n − x n x 1 2 − x 1 x n x 2 2 − x 2 x n . . . x n 2 − x n x n . . . x 1 n − x 1 n − 1 x n x 2 n − x 2 n − 1 x n . . . x n n − x n n − 1 x n ∣ \begin{vmatrix} 1&1&...&1 \\ x_1-x_n&x_2-x_n&...&x_n-x_n\\ x_1^2-x_1x_n&x_2^2-x_2x_n&...&x_n^2-x_nx_n\\ &...\\ x_1^n-x_1^{n-1}x_n&x_2^n-x_2^{n-1}x_n&...&x_n^n-x_n^{n-1}x_n \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1−xnx12−x1xnx1n−x1n−1xn1x2−xnx22−x2xn...x2n−x2n−1xn............1xn−xnxn2−xnxnxnn−xnn−1xn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
\;\;\;\;\;\; ∣ 1 1 . . . 1 x 1 − x n x 2 − x n . . . 0 x 1 2 − x 1 x n x 2 2 − x 2 x n . . . 0 . . . x 1 n − x 1 n − 1 x n x 2 n − x 2 n − 1 x n . . . 0 ∣ \begin{vmatrix} 1&1&...&1 \\ x_1-x_n&x_2-x_n&...&0\\ x_1^2-x_1x_n&x_2^2-x_2x_n&...&0\\ &...\\ x_1^n-x_1^{n-1}x_n&x_2^n-x_2^{n-1}x_n&...&0 \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1−xnx12−x1xnx1n−x1n−1xn1x2−xnx22−x2xn...x2n−x2n−1xn............1000∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
那么，根据行列式的通项式，只有第一行选择n时，才会对答案产生贡献。
设 D ∗ D^* D∗= ∣ x 1 − x n x 2 − x n . . . x n − 1 − x n x 1 2 − x 1 x n x 2 2 − x 2 x n . . . x n − 1 2 − x n − 1 x n . . . x 1 n − x 1 n − 1 x n x 2 n − x 2 n − 1 x n . . . x n − 1 n − x n − 1 n − 1 x n ∣ \begin{vmatrix} x_1-x_n&x_2-x_n&...&x_{n-1}-x_n\\ x_1^2-x_1x_n&x_2^2-x_2x_n&...&x_{n-1}^2-x_{n-1}x_n\\ &...\\ x_1^n-x_1^{n-1}x_n&x_2^n-x_2^{n-1}x_n&...&x_{n-1}^n-x_{n-1}^{n-1}x_n \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣x1−xnx12−x1xnx1n−x1n−1xnx2−xnx22−x2xn...x2n−x2n−1xn.........xn−1−xnxn−12−xn−1xnxn−1n−xn−1n−1xn∣∣∣∣∣∣∣∣
D n = ( − 1 ) n − 1 D ∗ D_n=(-1)^{n-1}D^* Dn=(−1)n−1D∗，这是因为，对于 1 — n − 1 1—n-1 1—n−1的每一个排列，最前面都会插入一个 n n n，逆序对个数增加 n − 1 n-1 n−1个，若 n − 1 n-1 n−1是奇数，逆序对个数的奇偶性会改变；否则，不会改变。
所以：
D n = ( − 1 ) n − 1 ∗ D_n=(-1)^{n-1}* Dn=(−1)n−1∗ ∣ x 1 − x n x 2 − x n . . . x n − 1 − x n x 1 2 − x 1 x n x 2 2 − x 2 x n . . . x n − 1 2 − x n − 1 x n . . . x 1 n − x 1 n − 1 x n x 2 n − x 2 n − 1 x n . . . x n − 1 n − x n − 1 n − 1 x n ∣ \begin{vmatrix} x_1-x_n&x_2-x_n&...&x_{n-1}-x_n\\ x_1^2-x_1x_n&x_2^2-x_2x_n&...&x_{n-1}^2-x_{n-1}x_n\\ &...\\ x_1^n-x_1^{n-1}x_n&x_2^n-x_2^{n-1}x_n&...&x_{n-1}^n-x_{n-1}^{n-1}x_n \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣x1−xnx12−x1xnx1n−x1n−1xnx2−xnx22−x2xn...x2n−x2n−1xn.........xn−1−xnxn−12−xn−1xnxn−1n−xn−1n−1xn∣∣∣∣∣∣∣∣
再将上式进行变换：
D n = ( − 1 ) n − 1 ∗ D_n=(-1)^{n-1}* Dn=(−1)n−1∗ ∣ x 1 − x n x 2 − x n . . . x n − 1 − x n x 1 ( x 1 − x n ) x 2 ( x 2 − x n ) . . . x n − 1 ( x n − 1 − x n ) . . . x 1 n − 1 ( x 1 − x n ) x 2 n − 1 ( x 2 − x n ) . . . x n − 1 n − 1 ( x n − 1 − x n ) ∣ \begin{vmatrix} x_1-x_n&x_2-x_n&...&x_{n-1}-x_n\\ x_1(x_1-x_n)&x_2(x_2-x_n)&...&x_{n-1}(x_{n-1}-x_n)\\ &...\\ x_1^{n-1}(x_1-x_n)&x_2^{n-1}(x_2-x_n)&...&x_{n-1}^{n-1}(x_{n-1}-x_n) \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣x1−xnx1(x1−xn)x1n−1(x1−xn)x2−xnx2(x2−xn)...x2n−1(x2−xn).........xn−1−xnxn−1(xn−1−xn)xn−1n−1(xn−1−xn)∣∣∣∣∣∣∣∣，
根据性质一和性质三，再进行变换：
D n = ( − 1 ) n − 1 ∗ ( x 1 − x n ) ( x 2 − x n ) . . . ( x n − 1 − x n ) ∗ D_n=(-1)^{n-1}*(x_1-x_n)(x_2-x_n)...(x_{n-1}-x_n)* Dn=(−1)n−1∗(x1−xn)(x2−xn)...(xn−1−xn)∗ ∣ 1 1 . . . 1 x 1 x 2 . . . x n − 1 . . . x 1 n − 1 x 2 n − 1 . . . x n − 1 n − 1 ∣ \begin{vmatrix} 1&1&...&1\\ x_1&x_2&...&x_{n-1}\\ &...\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_{n-1}^{n-1} \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x1n−11x2...x2n−1.........1xn−1xn−1n−1∣∣∣∣∣∣∣∣，
再观察，后面这个行列式不就是 D n − 1 D_{n-1} Dn−1吗！
( − 1 ) n − 1 ∗ ( x 1 − x n ) ( x 2 − x n ) . . . ( x n − 1 − x n ) (-1)^{n-1}*(x_1-x_n)(x_2-x_n)...(x_{n-1}-x_n) (−1)n−1∗(x1−xn)(x2−xn)...(xn−1−xn)又可变为：
( x n − x 1 ) ( x n − x 2 ) . . . ( x n − x n − 1 ) (x_n-x_1)(x_n-x_2)...(x_n-x_{n-1}) (xn−x1)(xn−x2)...(xn−xn−1)，
最终式：
D n = ( x n − x 1 ) ( x n − x 2 ) . . . ( x n − x n − 1 ) ∗ D_n=(x_n-x_1)(x_n-x_2)...(x_n-x_{n-1})* Dn=(xn−x1)(xn−x2)...(xn−xn−1)∗ ∣ 1 1 . . . 1 x 1 x 2 . . . x n − 1 . . . x 1 n − 1 x 2 n − 1 . . . x n − 1 n − 1 ∣ \begin{vmatrix} 1&1&...&1\\ x_1&x_2&...&x_{n-1}\\ &...\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_{n-1}^{n-1} \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x1n−11x2...x2n−1.........1xn−1xn−1n−1∣∣∣∣∣∣∣∣，
又因 D n − 1 D_{n-1} Dn−1已满足范德蒙德行列式，所以 D n D_n Dn可证得，也满足范德蒙德行列式。
标签：Dn,...,&...&,xn,trick,vmatrix,线性代数,行列式 来源： https://blog.csdn.net/qq_50214614/article/details/118095797
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