SLAM学习笔记（一）：数学基础

2021-06-21 18:58:38 阅读：220 来源： 互联网

1.旋转矩阵及性质

从坐标系X'O'Y'到坐标系XOY的变换可以任意取X'O'Y'中一点： $A(x_{r},y_{r})$ ，求其在XOY中的坐标 $A^{'}(x_{w},y_{w})$ 。如上图所示，设 $\left \| OA \right \|=r$ ，则:

$x_{r}=rcos(\Theta _{r}),y_{r}=rsin(\Theta _{r})$

那么，有：

$\\x_{w}=rcos(\Theta _{r}+\Theta )+t_{x} \\ y_{w}=rsin(\Theta _{r}+\Theta )+t_{y}$

展开可得：

$\\x_{w}=x_{r}*cos(\Theta )-y_{r}*sin(\Theta )+t_{x} \\ y_{w}=x_{r}*sin(\Theta )-y_{r}*cos(\Theta )+t_{y}$

所以可以定义旋转矩阵R和平移矩阵t为：

$R=\begin{pmatrix} cos(\Theta ) & -sin(\Theta ) \\ sin(\Theta ) & cos(\Theta ) \end{pmatrix}$ , $t=[t_{x},t_{y}]^{T}$

与此同时，不难验证：

$RR^{T}=I$

所以：

$R^{-1}=R^{T}$

2.反对称矩阵

首先，回顾一下向量的内积，也就是两个向量的内积可以定义为对应元素相乘求和：

$a\cdot b=a^{T}b=\sum_{i=1}^{3}a_{i}b_{i}=|a||b|cos\left \langle a,b \right \rangle$

内积描述的是两个向量之间的投影关系，而外积则定义了两个向量张开四边形的有向面积，如图所示：

公式定义为：

将上述的矩阵写成矩阵形式有：

$a\times b=\left [ \begin{matrix} i & j & k\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1}\\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{matrix} \right ]b=a^{\wedge } b$

这里a与b的叉乘可以写成a的反对称矩阵 $a^{\wedge }$ 与向量b的乘法，将它变成线性运算。

标签：内积,定义,矩阵,笔记,XOY,SLAM,数学,坐标系,向量
来源： https://blog.csdn.net/sinat_31425585/article/details/118091219

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2.反对称矩阵