标签：q1 变量 非线性 CPLEX 约束 相乘 干货 convex

不知道大家在写CPLEX的时候遇到过这个问题没有？

其实有过经验的小伙伴都知道该怎么处理了，但是小编决定还是写一下避免刚入行的小伙伴们踩坑。

这个错误呢查了ibm knowledge center显示如下：

里面讲了一堆想必大家也懒得去看了，我来讲讲这类问题的解决方案吧~出现这个错误的原因不是编程上的问题，而是建模方式上的问题。简单来说就是目标函数或者约束上出现了非线性的数学表达式。

那么什么是线性和非线性呢？我这里引一下百度知道上一个非常通俗易懂的解释：

两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，这样的两个变量之间的关系就zhi是“线性关系”；如果不是一次函数关系的——图象不是直线，就是“非线性关系”。比如说y=kx 就是线形的 而y=x^2就是非线形的线形的图形一般是一条直线。 
 
“非线性”的意思就是“所得非所望”。一个线性关系中的量是成比例的：十枚橘子的价钱是一枚的十倍。非线性意味着批发价格是不成比例的：一大箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少。这里重要的观念是“反馈”——折扣的大小反过来又影响顾客购买的数量。

也就是说你的模型中很可能出现了多个变量相乘的情况，例如下面这种情景：

要解决这个问题，首先就得想你的模型给linearlized了。而最常用的做法就是“大M”法了，通过增加一个充分大的数，将多个相乘的变量给拆开，从而达到线性化的目的。

不过像上图那种情况就非常麻烦（其实是我建模建错了），今天就先不讨论。举个简单的例子，VRP的arc-flow模型中货物流常见的约束如下：

其中和为决策变量，表示车辆离开客户以后的载重量，而为1表示车辆走过边()，否则为0。这条约束的含义是非常明了的，如果车辆经过边()，那么该车辆离开客户的载重量必须大于等于车辆离开客户的载重量加上客户的需求量，这是货物流平衡。

可以看到不等式右边出现了变量和变量相乘的情况，这就造成了我们刚刚说的“非线性”问题，那么这个模型放进cplex中肯定会报“not convex”的错误。为了让cplex能求解该模型，我们需要将非线性的约束转成线性的。

常见的一个办法是引入一个充分大的数，我们都喜欢叫它大M。当然这个数具体要多大，是不是越大越好，也不一定，后面我再讲。

先观察约束(8)右端的式子，发现只有当为1时，才需要，当为0时，就无所谓了。这是一个非常明显的if else约束。因此可以考虑将提取出来，和一个大M相乘：

我们现在来检验上面这个约束含义是否和之前的保持一致。首先当为1时，,约束变成，这个没问题。然后当为0时，，这个约束就被松弛掉了，也就是说取其定义域内任意值都能满足，也和之前的保持一致。

这样，我们就将两个相乘的变量通过一个大M将其拆开了。将其他非线性约束改成非线性约束，就能放进CPLEX跑了。当然了，小编才疏学浅，目前只知道这种方法，不过已经够小编用了，就没继续往下深究。关于大M法将if else类的约束线性化，我这里贴一个知乎上的回答：

如果有多个变量相乘，那可能就得引入多个大M。不过呢，到这里还没有结束。下面我们聊聊关于大M的取值与CPLEX的精度可能造成的BUG。这种BUG是非常可怕的，如果不了解这一点，可能要走很多很多弯路哦，而且书本上才不会告诉你这些。

还是下面这条式子：

关键就在于CPLEX可能会存在精度损失，比如为0-1的决策变量有可能求解之后是这样的：

也就是说当或者当，本应该为0的此刻都不是0了。那么这就很有可能造成约束失效，从而使模型无法满足所有约束。

不过注意，我上面说的是有可能造成约束失效，而非一定。和，它们和1相差的值都在小数点的后九位。也就是说当M设置得足够大的时候（比如），也会足够大，大到影响约束原本的作用。而当M不那么大的时候（比如），也是小数点后4位，对原约束可以认为是没有影响的。

当然这个没有影响是相对于和而言，因为他们要求为整数并且大于等于0，就相当于你有1000万，那么丢几块钱对你来说除了有点小小的不爽以外，基本上也是没影响的。

那么M取什么值比较合适呢，这就需要大家去做一个简单的bound了，简单判断下影响约束的一个upper bound或者lower bound，只需要大致估算一个值即可。比如上面那个货物流平衡，可以取，其中为车辆的容量。

好了，以上就是今天分享的内容了。可以关注我们，不定时分享一下小编踩过的雷，这样你就不会在漫漫科研路上踩到相同的雷啦。

来都来了，不点个在看吗？

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来源： https://blog.51cto.com/u_14328065/2919977

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