本文介绍命题逻辑(很少部分人叫它作零阶逻辑). 、一阶逻辑和二阶逻辑。这些形式推理的逻辑系统表达与推理能力依次增强。
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命题逻辑
命题逻辑：propositionnal logic
命题
命题有真假，所以能称得上是命题的句子有一定的特点，比如不是一个问句，肯定是一个陈述句，进一步，即使是陈述句，也未必是命题。即命题是具有真假值的陈述句。
一般，我们去判断一个陈述句是不是命题，只要想想这个陈述句是不是有判断的意味即可。比如"5<2"是一个命题，而且是一个假命题。再如“我比我爸爸年纪小"是命题，而且是一个真命题。但是，有的时候判断一个命题是难的，比如著名的“说谎者悖论”，"我在说谎“是命题吗？答案：这个是悖论，不是命题。
悖论是指同一命题中有两个对立结论，而两个结论都能自圆其说。即：事件P可以推导出事件非P；事件非P可以推导出事件P
“我在说谎”：
如果是真的，则“我在说谎”本身就是一个慌，与真的矛盾。
如果是假的。则“我在说谎”则是一个谎言，与假的又矛盾。
命题逻辑
我们确定一个命题之后，为了形式化，将这些命题都用小写字母
p
,
q
,
r
p,q,r
p,q,r表示。然后我们使用命题连接词，将上述
p
,
q
,
r
p,q,r
p,q,r组合成更加复杂的命题，称为命题公式，此时
p
,
q
,
r
p,q,r
p,q,r则称为命题变元或者原子命题（即不可再分）。我们也可以把这一过程形式化为
α
=
f
(
p
,
q
,
r
)
\alpha=f(p,q,r)
α=f(p,q,r)
命题连接词：常用的有如下五个，非，且（合取），或（析取），蕴含（推出），等价（当且仅当）
例子：
设
α
=
f
(
p
,
q
,
r
)
=
p
∧
q
∧
r
\alpha=f(p,q,r)=p \wedge q \wedge r
α=f(p,q,r)=p∧q∧r，则若
(
p
,
q
,
r
)
=
(
1
,
1
,
0
)
(p,q,r)=(1,1,0)
(p,q,r)=(1,1,0)，则命题公式
α
\alpha
α为假。
对于一个命题公式，我们可以构造一个真值表，例如对于 α = f ( p , q , r ) = p ∧ q \alpha=f(p,q,r)=p \wedge q α=f(p,q,r)=p∧q
| p | q | α \alpha α |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
指派(assignment)和解释(interpretation)的概念：设
α
=
f
(
p
1
,
⋯
,
p
n
)
\alpha=f(p_1,\cdots,p_n)
α=f(p1,⋯,pn)，其可以绘制其真值表，（同样，最后一列是因变量
α
\alpha
α的值）。那么指派和解释为：
一阶逻辑
作为命题逻辑向一阶逻辑的过渡，请看如下经典3段论。
所有人都会死
苏格拉底是人
所以苏格拉底会死
这个逻辑关系能否用命题逻辑表达？我们先定义：
p:所有人都会死
q:苏格拉底是人
r:苏格拉底会死
似乎看起来不错，为了表达原文中的因果关系，有：
(
p
∧
q
)
→
r
(p\wedge q) \rightarrow r
(p∧q)→r，这个逻辑表达式似乎也还行，但是只把原文的表层意思表达了出来。
如果用上述来表达原文的话，那么我问你，记命题变元
s
s
s为：
s:小明是人
t:小明会死
你能够得到什么结论？从原文的话，我们可以得出 t t t:小明会死的结论，但是如果你忘记原文，只从用命题逻辑的角度推理，完全无法根据 ( p ∧ q ) − > r (p\wedge q) ->r (p∧q)−>r和 s s s推出 t t t。
现在我们考虑使用一阶逻辑（First-order Logic）。其也是一种形式符号推理系统，也叫一阶谓词演算、低阶谓词演算(Predicate Calculus）、限量词（Quantifier）理论，也有人称其为“谓词逻辑”，虽然这种说法不够精确。总之，不管怎么说，一阶逻辑就是一种形式推理的逻辑系统，是一种抽象推理的符号工具。
一阶逻辑不同于单纯的“命题逻辑”，因为，一阶逻辑里面使用了任意和存在。举一个一阶逻辑表达式的例子：
∃x(Math(x) → Prof(x)）
其表示：存在一个x，如果x是数学老师，那么x是教授。
再举一个例子如下：
∀ \forall ∀x(Math(x) → Prof(x)）
其表示：任意一个x，如果x是数学老师，那么x是教授。
看完了上面两个例子之后，大家如果静下心来想一想，不难发现，其特点在于：将命题逻辑中命题的一些名词给变量化了。为了以示区别，再举例如下：
命题逻辑中的表示：
小明是一位数学家
p:小明是一位数学家
一阶逻辑中的表示：
小明是一位数学家
math(小明)。其中math(x)表示：x是一位数学家。
这个时候，我们能够慢慢发现一阶逻辑的强大，为了证明这一点，我们可以将前面的三段论使用一阶逻辑进行完美的表示。
所有人都会死
苏格拉底是人
所以苏格拉底会死
定义：
die(x)：x会死
people(x):x是人
那么上述三段论可以表示为：
∀ \forall ∀ x (people(x)-> die(x))
people(“苏格拉底”)->die(“苏格拉底”)
这一次，如果小明是人，那么有people(“小明”)，我们根据 ∀ \forall ∀ x (people(x) → \rightarrow → die(x))，可以推导出die(“小明”)，即小明会死。这次总算完美解决了。
相关概念
谓词：一个含有变量的命题，例如上述math(x)。
谓词符号：就是上述的math,die之类的。只是通常我们习惯用大写表示比如：F,G,H，但是随便用也行。
函数符号：这个我们早已熟悉。通常用小写表示f,g,h，但是随便也行，比如我们构造函数的时候，也用过F啊。
谓词符号和函数符号非常相似，只是在映射上，函数更加宽泛 f : A − > B f:A->B f:A−>B，而谓词更加狭窄 F : D − > E = { 0 , 1 } F:D->E=\{0,1\} F:D−>E={0,1}，比如people("桌子”）是假的，所以为0。
个体域：即谓词中变量的取值范围。比如math(x)，x的取值范围是人这种类型的个体。
个体域可是有限的，也可以是无限的。
二阶逻辑
有了一阶逻辑的概念之后，二阶逻辑水到渠成。假设你要将如下语句翻译成逻辑：
Leibniz Law: “对于任意个体x和y, 只要x和y相等, 那么x,y具有相同的性质”
那么显然，翻译如下：
P(z):z具有性质P。
E(u,v):u和v相等。
那么从而翻译为：
∀ x , y [ E ( x , y ) → ∀ P ( P ( x ) ↔ P ( y ) ] \forall x,y \quad [E(x,y)\rightarrow \forall P(P(x)\leftrightarrow P(y)] ∀x,y[E(x,y)→∀P(P(x)↔P(y)]
看到上面我给出的表示，细心的人应该能够发现，这次量词符号竟然作用在谓词符号上 ∀ P \forall P ∀P,之前我们在一阶谓词中只允许量词作用在个体上，例如 ∀ x P ( x ) \forall x \quad P(x) ∀xP(x)。这就是一阶逻辑和二阶逻辑的区别。
对了，上面的表示非常完美，读者应当细细品味。
其他逻辑系统
模糊逻辑
对于命题逻辑，一个命题要么为真，要么为假，而不存在模糊地带，即是一个二值逻辑。如今为了增强表达能力，当值域大小不止为2时，称为多值逻辑，或模糊逻辑。
参考资料：
https://blog.csdn.net/kyle1314608/article/details/105167193/?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-baidujs_baidulandingword-0&spm=1001.2101.3001.4242
标签：小明,逻辑,命题,二阶,一阶,谓词,命题逻辑 来源： https://blog.csdn.net/qq_43391414/article/details/117397388
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