标签：infty geq frac limits 斯特林 公式 sum 对偶

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• 联系下降幂，上升幂，幂
• 递推关系对偶
• 生成函数对偶
• 矩阵
• 还有一些

upd 2021-02-15 刚才知乎冲浪来着，转载一篇文章
喜闻乐见的公式编辑测试环节，联系太多了，所以肯定写不完

联系下降幂，上升幂，幂

\[(x)^n=x(x+1)...(x+n-1) \\ (x)_n=x(x-1)...(x-n+1) \]

\[\sum\limits_{k=1}^{n}S_1(n,k)x^k=(x)^n \\ \sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}S_1(n,k)x^k=(x)_n \\ \sum\limits_{k=1}^{n}S_2(n,k)(x)_k=(x)_n=x^n \]

递推关系对偶

\[S_1(n,k)=(n-1)\cdot S_1(n-1,k)+S_1(n-1,k-1) \\ S_1(0,0)=1 \\ S_1(n,0)=S_1(0,n)=0 \ for \ n\geq 1 \]

\[S_2(n,k)=k\cdot S_2(n-1,k)+S_2(n-1,k-1)\\ S_2(0,0)=1 \\ S_2(n,0)=S_2(0,n)=0 \ for\ n\geq 1 \]

生成函数对偶

\[\sum\limits_{n=0}^{\infty}S_2(n,k)\frac{x^n}{n!}=\frac{(e^x-1)^k}{k!} \]

\[\sum\limits_{n=0}^{\infty}S_1(n,k)\frac{x^n}{n!}=\frac{(ln(x+1))^k}{k!} \]

矩阵

let

\[ A=(a_{ij})_{n\times n}=[\ (-1)^{i-j}S_1(i,j)\ ]_{n\times n}\\ B=(b_{ij})_{n\times n}=(S_2(i,j))_{n\times n} \]

then

\[AB=BA=I \]

注：这里需要对\(i<j\)的斯特林数做定义，具体的定义方式我这里找不到了

还有一些

让\(A(x),B(x)\)分别为\(\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\)和\(\{b_n\}_{n=0}^{\infty}\)的指数生成函数，以下三命题等价

\[\forall n\geq 0\ \ , b_n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}S_2(n,i)a_i\\ \forall n\geq 0\ \ , a_n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-1)^{n-i}S_1(n,i)b_i\\ B(x)=A(e^x-1) \quad \text{i.e.} \quad A(x)=B(\ \ln(1+x)\ ) \]

\[ \]

标签：infty,geq,frac,limits,斯特林,公式,sum,对偶
来源： https://blog.51cto.com/u_15247503/2859963

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